אם טיילור תפס אותנו ברגעי חולשה, מה נגיד על קמירות? קמירות היא ללא ספק אחד מהנושאים המטלטלים ביותר בקורס.

ישנן מספר סיבות לכך. ראשית, זהו הנושא האחרון שנלמד בסמסטר והוא בדרך כלל נלמד תוך שתי הרצאות חפוזות במיוחד שמשאירות אותך בעיקר עם בילבול וכאבים במפרק היד הכותבת. שנית, בדומה לטיילור, הנושא הזה די רחוק מהמחוזות המתמטיים שאנחנו מכירים. אולי נתקלנו בזה בתיכון אבל מעבר לקשר בין קמירות לבין נגזרת שנייה לא באמת טרחו לספר לנו למה זה טוב. לבסוף, גם לא כך טורחים לעשות את זה בקורס מלבד להוכיח מספר משפטים במהירות הקשורים בפונקציות קמורות.

בסולחה הזו נתקן את כל אלו. ראשית נתחיל ביצירת חברות חדשה בינכם ולבין הגדרת הקמירות עם הפרמטר $t$ (או $\lambda$, תלוי מאיפה אתם בעולם). נפזר את הערפל סביב ההגדרה ונבין למה היא בכלל טובה. לאחר מכן נציין מספר תכונות חשובות הקשורות בקמירות שנלמדות בקורס, ומספר תכונות מאוד חשובות שלא נלמדות בקורס. ארגנו לעצמכם איז עוגייה מלוחה ומשקה קל – אנחנו יוצאים לדרך.

הגדרת הקמירות

אז בעיקרון (וכנראה בעיקרון זה נגמר) פונקציה קמורה בקטע אם עבור כל שתי נקודות בקטע, המיתר (הישר) בין שתי הנקודות נמצא מעל לגרף הפונקציה.

קמירות – קווים לדמותה

ויזואלית, פונקציה קמורה היא כזו “שמקופלת” כלפי מעלה. קצת יותר פורמלית:

הגדרת הקמירות (הציורית)

$f$ קמורה בקטע $I$ אם לכל $a,b\in I$ המיתר המחבר בין $a$ ל-$b$ נמצא מעל (או על) גרף הפונקציה בין $a$ ל-$b$.

למה קראתי להגדרה ציורית? כי בואו, היא ציורית. הכוונה היא שאנחנו יכולים רק לדמיין אותה. אי אפשר לעשות עם זה קסמים מתמטים. זה כמו להגיד שהגדרת הגבול היא התקרבות ערך הפונקציה למספר מסויים. יופי אז הוא מתקרב, מה אפשר לעשות עם זה בדיוק? אנחנו צריכים הגדרה עם קצת בשר, קצת אלגברה.

אז אפשר לנסות לפרמל הגדרה כזו. אם נניח שיש לנו באמת שתי נקודות בקטע $a,b$, מה היא משוואת הישר שמייצגת את המיתר בין שתי הנקודות? ובכן אנחנו מחפשים משוואת קו ישר שעובר בנקודות $\left(a,f\left(a\right)\right)$ ו-$\left(b,f\left(b\right)\right)$. אפשר להיזכר בשיטה הפנטסטית מימי התיכון הזוהרים, לפי נקבל כי משוואת הישר היא $$y\left(x\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ ואז למעשה הגדרת הקמירות תאמר שלכל $a,b\in I$ מתקיים כי לכל $x$ בקטע בין $a,b$ $$y\left(x\right)\ge f\left(x\right)$$ או בצורה מפורשת $$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)\ge f\left(x\right)$$

אז למה לא לעצור פה? למה לא לקרוא לזה הגדרת הקמירות? ובכן להלן שתי סיבות: 1) זו הגדרה מסורבלת ולא אלגנטית ו2) זו הגדרה לא שימושית למימדים גבוהים יותר. למה זה לא שימושי למימדים גבוהים יותר? כי כבר כשמוסיפים עוד מימד, אי-אפשר לכתוב “משוואת ישר”. יש שתי אפשרויות למי שרוצה לתאר ישר שנע בעולם תלת-מימדי: או בעזרת שלוש משוואות, או בעזרת הצגה פרמטרית.

התענוג בהגדרת הקמירות הפרמטרית, שנדון בה מיד, היא שהיא מסתמכת על הצגה פרמטרית של ישרים, ולכן עובדת בכל המימדים. לפני שנסביר את ההגדרה הפרמטרית, כדאי להכיר קודם את רעיון ההצגה הפרמטרית של ישרים.

הקדמה על משוואות

כשאני מציג בפניכם את המשוואה $$y=x+1$$ מה עולה לכם לראש? לי עולה קו ישר עם שיפוע $1$ שחותך את ציר ה-$y$ בנקודה $\left(0,1\right)$. וזה גם מה שעלה לאבות אבותינו מהמאה ה-17 והלאה כשהם חשבו על המשוואה הזו. אבל לפני המאה ה-17? לא היה שום קשר. המשוואה שמוצגת למעלה זו משוואת אחת בשני נעלמים, שידועה כמשוואה בעלת אינסוף פתרונות, ופה בערך נגמר הסיפור. שום גרף ושום קווים ישרים. גרפים וקווים ישרים היו עד אז (אלפי שנים) נחלתה של הגאומטריה – הענף במתמטיקה שעסק בצורות ותכונותיהן. עד המאה ה-17, גאומטריה ואלגברה היו תחומים נפרדים לחלוטין. כן, בשניהם יש משפטים, אבל הם דנים בתופעות שונות לחלוטין.

במאה ה-17 צץ בצרפת בחור מבריק במיוחד בשם רנה דקארט. עבור הקהל הרחב, הוא מוכר בעיקר כרנה דקארט הפילוסוף אשר אמר את המשפט המפורסם:

“אני חושב משמע אני קיים.”

אבל עבור המתמטקאים, הוא מוכר בעיקר כרנה דקארט המתמטיקאי, שהגה את רעיון מערכת הצירים, שנקראה בהמשך על שמו, מערכת הצירים הקרטזית. הרעיון של דקארט הוא שניתן לשרטט את הפתרונות של משוואות כגון $y=x+1$ על מערכת עם שני צירים. כלומר קחו כל זוג מספרים שפותר את המשוואה, למשל $\left(0,1\right)$, $\left(1,2\right)$, ותשרטטו אותם כנקודות במערכת הצירים. אם באמת יכולנו לשרטט את כל הנקודות האלו היינו מקבלים קו ישר רציף.

הרעיון של דקארט היה בעצם להביע את האלגברה בעזרת גאומטריה. יחד עם זאת, פריצת הדרך האמיתית שלו הייתה דווקא בכיוון ההפוך, בה הוא הציע דרך לתרגם את הגאומטריה לאלגברה. גישה זו הביאה להוכחת מספר משפטים שעד אז היו בגדר תעלומה שכן היא אפשרה לפתור בעיות גאומטריות בעזרת כלים אלגבריים.

הנה שאלה טריקית: מה עולה לכם לראש כשאתם רואים את המשוואה $$x=y-1$$

זה קצת מבלבל. $x$ כפונקציה של $y$? מה זו מתיחה? איפה המצלמות? אז למעשה אין פה שום מתיחה. מנקודת מבט אלגברית, זו בדיוק אותה משוואה עם שני נעלמים. ומבחינתו של דקארט, אם היינו צריכים לשרטט אותה במערכת צירים קרטזית, היינו מקבלים את אותו הקו הישר. המהות של השרטוט היא בסך הכל לסמן את פתרונות המשוואה, ואלו הרי בדיוק אותם פתרונות. גישתו של דקארט כמובן לא מוגבלת רק למשוואות מהצורה $y=f\left(x\right)$. אלא לכל משוואה עם שני נעלמים, כמו למשל $$x^{2}+y^{2}=1$$

זוכרים מה זה? אם לא, להלן טריק שאולי לא הכרתם: אפשר לשרטט משוואות כאלו בדסמוס. כן כן, פשוט תכתוב את המשוואה ככה. בכל מקרה זהו מעגל עם רדיוס אחד שמרכזו בראשית הצירים. אבל למי שלא זכר, ואין לו דסמוס ברשותו, להבין ככה סתם שזו משוואת מעגל זה לא בהכרח דבר טריוואלי. כמו כל משוואה, היא לא נותנת לנו בקלות את זוגות המספרים שפותרים אותה. אבל בשונה ממשוואות, הצגות פרמטריות נותנות לנו במפורש את הנקודות של הפתרון.

הצגות פרמטריות

הבנת העיקרון של הצגות פרמטריות הכרחי להבנת הגדרת הקמירות, אך בנוסף, יהיה שימושי במיוחד עבורכם בקורסיי ההמשך על פונקציות מרובות משתנים.

בהצגה פרמטרית (בשני מימדים) מסתכלים על רעיון שרטוט הפתרונות בזווית קצת אחרת. במקום להסתכל על משוואה ובאיזו דרך קסומה להבין מה הן צמדי הנקודות $\left(x,y\right)$ שפותרים אותה, הצגות פרמטריות נותנות לנו שתי פונקציה – $x\left(t\right)$ ו-$y\left(t\right)$ – אשר לכל ערך $t_{0}$ כלשהו מהוות נקודה אחת $\left(x\left(t_{0}\right),y\left(t_{0}\right)\right)$ על הגרף שצריך לשרטט. ואז, על מנת לצייר את הגרף, כל מה שצריך לעשות זה לעבור על כל ערכי ה-$t$, ולכל אחד מהם לשרטט את הנקודה $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$. ניתן גם להגביל את הערך של $t$ להיות בטווח מסויים על מנת להגביל את השרטוט.

בואו נראה דוגמה. נניח שאני נותן לכם את הפונקציות הבאות ואת הטווח הבא ל-$t$ $$\begin{cases} x\left(t\right)=\cos\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\sin\left(t\right) \end{cases}\quad0\le t\le2\pi$$

בגרף האינטרקאטיבי הבא תוכלו לשנות את הערך של $t$, ובכל רגע תסומן לכם נקודה אחרת מהעקומה שההצגה הפרמטרית הזו מייצגת. מצליחים לנחש מה הגרף שמייצגות הנקודות האלו? לחצו על Trace וגלו אם צדקתם. בין העונים נכונה תוגרל סדרה מתכנסת.

אז אכן זוהי הצגה פרמטרית של מעגל שרדיוסו אחד ומרכזו בראשית הצירים. איך אגב אפשר היה לדעת את זה מההצגה הפרמטרית? אז האמת שאין ממש דרך פשוטה. אחת הדרכים היא לנסות להבין מה המשוואה שמקיימות הפונקציות $x\left(t\right)$ ו-$y\left(t\right)$ לכל $t$. לפעמים אפשר לעשות את זה על ידי בידוד הפרמטר $t$ ממשוואה אחת והצבתו בשנייה. במקרה הזה צריך לשים לב כי לכל $t_{0}\in\left[0,2\pi\right]$ מתקיים $$x^{2}\left(t_{0}\right)+y^{2}\left(t_{0}\right)=\cos^{2}\left(t_{0}\right)+\sin^{2}\left(t_{0}\right)=1$$ כלומר לכל צמד נקודות מתקיימת המשוואה $$x^{2}+y^{2}=1$$ שזוהי, כפי שאמרנו קודם, משוואת מעגל שרדיוסו 1 ומרכזו בראשית הצירים.

שימוש לב שבעזרת הצגות פרמטריות אפשר גם לתאר “חלקים” מעקומה מסויימת. למשל אם היינו מגבילים את הטווח של $t$ להיות $0\le t\le\pi$, אז היינו מקבלים רק חצי מעגל. זה יהיה שימושי עבורנו כשנרצה לתאר את המיתר בין שתי נקודות על גרף הפונקציה. אנחנו לא באמת מעוניינים בכל הישר שעובר בין שתי הנקודות האלו, אלא רק בחלק שלו שנמצא ממש בין שתי הנקודות האלו.

עובדה חשובה במיוחד שצריך לשים לב אליה עם הצגות פרמטריות זה שכל עקומה ניתנת לייצוג על ידי אינסוף הצגות פרמטריות שונות. למשל את המעגל שדנו בו מקודם ניתן גם לייצג על ידי ההצגה הפרמטרית $$\begin{cases} x\left(t\right)=\cos\left(t^{2}\right)\\ y\left(t\right)=\sin\left(t^{2}\right) \end{cases}\quad0\le t\le\sqrt{2\pi}$$

נכון שאנחנו מסתכלים עכשיו על ערכי $t$ אחרים, אך בסופו של יום מה שנכנס לתוך ה-$\cos$ וה-$\sin$ אלו בדיוק אותם ערכים, ולכן ישורטטו בדיוק אותן נקודות. כמובן שבמקרה של הפונקציות הטריגונומטריות יכולנו גם לקחת טווח ערכי $t$ אחר בו הן מקבלות את אותן ערכים, למשל $$\begin{cases} x\left(t\right)=\cos\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\sin\left(t\right) \end{cases}\quad2\pi\le t\le4\pi$$ למעשה, כל מקטע באורך $2\pi$ יתן לנו את המעגל בסוף היום, לא משנה מהו הערך ההתחלתי.

העובדה שניתן לייצג כל עקומה באינסוף דרכים שונות יכולה להוות חיסרון. במתמטיקה עדיף שתהיה דרך אחת טובה לעשות כל דבר. זכרו את הנקודה הזו, שכן אנחנו עומדים למצוא ייצוג לקו ישר בעוד רגע קט, ואנחנו נחפש הצגה שתהיה “אוניברסלית” במידה מסויימת ולא תהיה תלויה בישר עצמו יותר מדי.

הצגה פרמטרית לקמירות

לפני שנמשיך אני רוצה להזכיר את הגדרת הקמירות הציורית עליה דיברנו בתחילת הפרק.

הגדרת הקמירות (הציורית)

$f$ קמורה בקטע $I$ אם לכל $a,b\in I$ המיתר המחבר בין $a$ ל-$b$ נמצא מעל (או על) גרף הפונקציה בין $a$ ל-$b$.

לצורך ניסוח הגדרת הקמירות עם הצגות פרמטריות, נרצה למצוא הצגה פרמטרית למיתר בין הנקודות $\left(a,f\left(a\right)\right)$ ו-$\left(b,f\left(b\right)\right)$. בשביל הצגה פרמטרית אנחנו צריכים לקבוע שלושה דברים:

1. הטווח של $t$.
2. הפונקציה $x\left(t\right)$.
3. הפונקציה $y\left(t\right)$.

כך שלכל $t$ שנבחר בטווח המוגדר, הנקודה $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ תהיה על העקום שאנו מנסים לשרטט. כפי שהבנו בחלק הקודם, ישנן אינסוף דרכים לייצג את אותו מיתר בעזרת הצגה פרמטרית, ולכן נצטרך להיצמד לאיזשהו סטנדרט. לפני שנציג את הגישה הסטנדרטית, בואו נחשוב על גישה פשוטה יותר אך פחות אוניברסלית.

דרך מאוד נוחה לייצג את משוואה מהצורה $y=f\left(x\right)$ על ידי הצגה פרמטרית עבור תחום $x\in\left[a,b\right]$ מסויים היא בעזרת ההצגה הבאה $$\begin{cases} x\left(t\right)=t\\ y\left(t\right)=f\left(t\right) \end{cases}\quad a\le t\le b$$

בואו נבין למה זה נכון. עבור כל $t$ בתחום $\left[a,b\right]$ אנחנו מקבלים את הנקודה $\left(t,f\left(t\right)\right)$, ואלו בדיוק הנקודות שמקיימות את המשוואה $y=f\left(x\right)$ בתחום $\left[a,b\right]$.

מה הבעיה בליישם את זה על המקרה שלנו? הבעיה הראשונה היא הטווח עבור $t$, שתלוי באופן מפורש ב-$a$ ו-$b$. הגישה הסטנדרטית מחליפה את זה בטווח קבוע ללא קשר לקטע. הבעיה השניה, והיותר משמעותית, היא שראינו שהפונקציה $f\left(t\right)$ היא מסורבלת עבור המיתר. חמור מכך, במחשבה על העתיד בו נרצה הגדרת קמירות עבור פונקציות של מספר משתנים, הייצוג של $f\left(t\right)$ יהפוך להיות מסורבל עוד יותר עד עושה חשק ללכת לראות נטפליקס במקום להמשיך לחשוב עליו.

נציג את הגישה הסטנדרטית. ראשית מקבעים את הטווח של $t$ להיות $0\le t\le1$. לא משנה מהו הקטע $\left[a,b\right]$. עכשיו נבנה את הפונקציה של $x$. אנחנו נרצה שהפונקציה של $x$ תתקדם מ-$a$ עד ל-$b$ כאשר $t$ נע בין $0$ ל-$1$. הדרך שבה עושים את זה היא על ידי ממוצע משוקלל בין $a$ ל-$b$ כאשר $t$ הוא המשקל ששמים על $b$, בדרך הזו $$x\left(t\right)=\left(1-t\right)\cdot a+t\cdot b$$ שימו לב שכאשר $t=0$ אנחנו מקבלים $x\left(0\right)=a$ וכאשר $t=1$ אנחנו מקבלים $x\left(1\right)=b$. כאשר נקח למשל $t=\frac{1}{2}$ נקבל בדיוק את הממוצע החשבוני הרגיל $$x\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$$ כאשר נקח למשל $t=0.1$ אנחנו שמים משקל של $0.1$ על $b$ ומשקל של $0.9$ על $a$ ולכן נקבל $$x\left(0.1\right)=0.9a+0.1b$$ מאחר שאנחנו לוקחים ערכים של $t$ בין $0$ ל-$1$ תמיד נקבל מספר ביניים בין $a$ ל-$b$. ולכן הבחירה של $x\left(t\right)$ עושה בדיוק מה שרצינו. השאלה הגדולה כמובן, היא איך לבחור את $y\left(t\right)$.

לצורך הבחירה של $y(t)$ נעזר במספר עובדות שנרצה שיתקיימו. ראשית נרצה שיתקיים $y\left(0\right)=f\left(a\right)$ ו-$y\left(1\right)=f\left(b\right)$. אלו בדיוק נקודות הקצה שמתאימות ל-$x\left(0\right)$ ו-$x\left(1\right)$. עבור $0<t<1$ נרצה כמובן ש-$y\left(t\right)$ יהיה מספר בין $f\left(a\right)$ ל-$f\left(b\right)$. אך איך נבחר את המספר $y\left(t\right)$ המתאים ל-$x\left(t\right)$?

לצורך בחירת $y\left(t\right)$ ניזכר בתכונה מיוחד של קווים ישרים: הם צפויים. קחו לדוגמה את הישר $$y=3x$$ אם נכניס את הערך $x=1$ נקבל $y=3$. אם עכשיו נכניס קלט כפול בגודלו, כלומר $x=2$ נקבל פלט כפול בגודלו $y=6$. בנוסף אם למשל נכניס סכום של קלטים $x=1+2$ נקבל כי $y=3+6=9$ שזה בדיוק סכום הפלטים. זוהי בדיוק תכונת הלינאריות. אם אנחנו נמצאים בנקודת האמצע בין $a$ ל-$b$, נצפה שגם ערך ה-$y$ שלנו יהיה בדיוק באמצע בין $f\left(a\right)$ ל-$f\left(b\right)$. לכן אם $$x\left(t\right)=\left(1-t\right)\cdot a+t\cdot b$$ כלומר אנחנו מכניסים $\left(1-t\right)$ פעמים את הקלט $a$ ועוד $t$ פעמים את הקלט $b$, נרצה שהמוצא $y\left(t\right)$ יהיה $\left(1-t\right)$ פעמים $f\left(a\right)$ ועוד $t$ פעמים $f\left(b\right)$, כלומר גם הוא ממוצע משוקלל של $f\left(a\right)$ ו-$f\left(b\right)$ $$y\left(t\right)=\left(1-t\right)\cdot f\left(a\right)+t\cdot f\left(b\right)$$ שימו לב שאכן עבור $t=0,1$ אנחנו מקבלים את התוצאות הנכונות. בנוסף, אתם מוזמנים (בזמנכם הפנוי כמו עכשיו לדוגמה) לבודד מהמשוואה של $x\left(t\right)$ את המשתנה $t$ ולהציב למשוואה של $y\left(t\right)$ , לעשות קצת מסאז’ אלגברי ולהיווכח כי המשוואה שמקיימות הפונקציות $x\left(t\right)$ ו-$y\left(t\right)$ היא בדיוק משוואת המיתר שחישבנו בתחילת הפרק $$y=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$

עכשיו אנחנו מוכנים ומזומנים לתת את הגדרת הקמירות בעזרת הפרמטר. מה שנרצה להגיד בהגדרה זה ש-$f$ קמורה בקטע $I$ אם לכל $a,b\in I$ ולכל נקודה בקטע $\left[a,b\right]$ ערך הפונקציה בנקודה קטן או שווה לערך המיתר באותה נקודה. עד הביטוי “לכל $a,b\in I$” נכתוב את זה בדיוק ככה. מעבר לזה נפרמל אחרת. הנקודות בקטע $\left[a,b\right]$ מיוצגות אצלנו על ידי הפונקציה $x\left(t\right)$. לכן במקום לכתוב “לכל נקודה בקטע $\left[a,b\right]$” נכתוב “לכל $0\le t\le1$”, שכן כאשר $t$ נע בין $0$ ל-$1$, $x\left(t\right)$ נע בין $a$ ל-$b$. את החלק “ערך הפונקציה בנקודה קטן או שווה לערך המיתר באותה נקודה” נכתוב כמובן בעזרת אי-שיוויון. ערך הפונקציה בנקודה ייוצג על ידי $$f\left(x\left(t\right)\right)=f\left(\left(1-t\right)\cdot a+t\cdot b\right)$$ וערך המיתר בנקודה פשוט על ידי $$y\left(t\right)=\left(1-t\right)\cdot f\left(a\right)+t\cdot f\left(b\right)$$

וזה הכל. אנחנו מוכנים לרשום את ההגדרה הרשמית:

הגדרת הקמירות

$f$ קמורה בקטע $I$ אם לכל $a,b\in I$ ולכל $0\le t\le1$ מתקיים $$f\left(\left(1-t\right)\cdot a+t\cdot b\right)\le\left(1-t\right)\cdot f\left(a\right)+t\cdot f\left(b\right)$$

הערה: יש הנוהגים לקיים את כל הדיון הזה כאשר הפרמטר הוא $\lambda$ ולא $t$. את ההגדרה הזו קל מאוד להרחיב למספר מימדים גבוה יותר כאשר $a$ ו-$b$ הם פשוט וקטורים ו-$f\left(\cdot\right)$ היא פונקציה של מספר משתנים ולכן יש משמעות לביטוי $f\left(a\right)$ ו-$f\left(b\right)$. אם טרם נתקלתם בפונקציות מרובות משתנים, אל חשש, זה לא רלוונטי כרגע.

דוגמה לשימוש

בואו נראה יחד כמה קל להוכיח את למת המיתרים כשמשתמשים בהגדרה הזו. ההוכחה הופכת להיות פשוטה עד כדי מספר חישובים אלגבריים בלבד. בלי תחכומים לוגיים. נניח שאנו מעוניינים להוכיח את החלק הבא בלמה:

תהי $f$ פונקציה קמורה ב-$I$ לכן לכל $a<b<c\in I$ מתקיים $$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\le\frac{f\left(c\right)-f\left(a\right)}{c-a}$$

כלומר אם תקחו מיתר באזור הקמירות, ותזיזו את הקצה הימני שלו ימינה, תקבלו מיתר עם שיפוע גדול יותר.

איך מוכיחים את זה? שימו לב. אם נפעיל את הגדרת הקמירות בין הנקודות $a$ ו-$c$ נקבל כי לכל $0\le t\le1$ מתקיים $$f\left(\left(1-t\right)\cdot a+t\cdot c\right)\le\left(1-t\right)\cdot f\left(a\right)+t\cdot f\left(c\right)$$ מאחר ש-$b$ היא נקודה שנמצאת ממש בין $a$ ל-$c$, קיים איזשהו $0<t_{0}<1$ כך שמתקיים $$b=\left(1-t_{0}\right)\cdot a+t_{0}\cdot c$$ שימו לב כי $t_{0}$ זה נמצא ממש בין $0$ ל-$1$ אחרת הוא היינו מקבלים את הקצוות $a$ ו-$c$. (אתם מוזמנים אגב להיווכח שזה נכון על ידי בידוד $t_{0}$ מהמשוואה לעיל.) עבור אותו $t_{0}$ לפי הגדרת הקמירות יתקיים $$f\left(b\right)=f\left(\left(1-t_{0}\right)\cdot a+t_{0}\cdot c\right)\le\left(1-t_{0}\right)\cdot f\left(a\right)+t_{0}\cdot f\left(c\right)$$ עכשיו נקח את המשוואה עם $b$ ונסדר אותה קצת $$\begin{gathered}b=\left(1-t_{0}\right)\cdot a+t_{0}\cdot c\\ b=t_{0}\cdot\left(c-a\right)+a\\ b-a=t_{0}\cdot\left(c-a\right) \end{gathered}$$ ועכשיו נקח את אי-השיוויון עם $f\left(b\right)$ ונסדר אותו קצת $$\begin{gathered}f\left(b\right)\le\left(1-t_{0}\right)\cdot f\left(a\right)+t_{0}\cdot f\left(c\right)\\ f\left(b\right)\le t_{0}\cdot\left(f\left(c\right)-f\left(a\right)\right)+f\left(a\right)\\ f\left(b\right)-f\left(a\right)\le t_{0}\cdot\left(f\left(c\right)-f\left(a\right)\right) \end{gathered}$$ אתם רואים לאן זה הולך? אם נקח את הצורה המסודרת של אי-השיוויון שלנו על $f\left(b\right)$ ונחלק בצורה המסודרת של השיוויון שלנו על $b$ מה נקבל? $$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\le\frac{\cancel{t_{0}}\cdot\left(f\left(c\right)-f\left(a\right)\right)}{\cancel{t_{0}}\cdot\left(c-a\right)}=\frac{f\left(c\right)-f\left(a\right)}{c-a}$$ טה-דה! עכשיו כמו נקודות חשובות: למה מותר לחלק אי-שיוויון במשוואה? כי זה כמו לחלק את שני אגפי האי-שיוויון באותו מספר. אוקיי, אז צריך לוודא שלא מחלקים ב-0. נכון מאוד, אבל חשוב לזכור ש-$b$ גדול ממש מ-$a$ ולכן $$b-a>0$$ אוקיי מגניב, אבל כדי לשמור על הכיוון של אי-השיוויון צריך לוודא שמחלקים בגודל חיובי! $b$ גדול מ-$a$ ולכן $b-a>0$. ההערות נכונות כמובן גם לאגף השני $t_{0}\cdot\left(c-a\right)$ כי זה שיוויון. אבל למען נשכנע את הספקנים הגדולים: $c-a>0$ ו-$t_{0}>0$, ולכן גם אגף ימין חיובי ממש, על אף שאין באמת צורך לציין גם את זה.

ראיתם כמה פשוט זה היה? (בהשוואה למשפטים אחרים בקורס כמובן, זה לא באמת כזה פשוט.) בסך הכל צריך לבחור נכון איפה להפעיל את הגדרת הקמירות ומשם זה רק אלגברה. הלוואי שההוכחה של משפט טיילור הייתה נראת ככה.

בעזרת הגדרת הקמירות ולמת המיתרים מוכיחים שלל תכונות של פונקציות קמורות. נציין כמה מהן עכשיו. חלקן נלמדו בהרצאה וחלקן לא נלמדו בהרצאה אך כמו תמיד, כדאי לדעת. למה? כי המרצים שלכם יודעים אותן, ולכן הן יכולות להיות אחלה שאלות למבחן.

משפטי קמירות

ישנם משפטים רבים הקשורים בקמירות, וכולם מפורטים בסיכום הקורס¹. אני רוצה להתייחס לכמה מעניינים במיוחד. כמו תמיד עליכם האחריות לדעת מי מהמשפטים והתכונות האלו נלמדו והוכחו בסמסטר שלכם, ותוכלו להשתמש בהם במבחנים שלכם. שימו לב שמשפטים שדנים בקטעים פתוחים לצורך עניין זה, כוללים גם את הקטע הפתוח שהוא כל $\mathbb{R}$.

קמירות ומשיקים

תהי $f$ גזירה ב-$\left(a,b\right)$. $f$ קמורה בקטע $\left(a,b\right)$ אם, ורק אם לכל $x_{0}\in\left(a,b\right)$ המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x_{0}$ נמצא מתחת לגרף הפונקציה לכל $x\in\left(a,b\right)$.

המשפט נותן לנו אפיון אחר לקמירות בקטע פתוח, בהנחה שהפונקציה שלנו גזירה. כדאי לדעת שניתן לנסח אותו גם בצורה יותר מתמטית אם רושמים במפורש את העובדה “המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x_{0}$ נמצא מתחת לגרף הפונקציה לכל $x\in\left(a,b\right)$”. את המשיק לגרף הפונקציה אנחנו יכולים למצוא בעזרת הנוסחה שציינו בתחילת הפרק על מציאת משוואת ישר משתי נקודות, רק שכאן אנחנו כבר יודעים את השיפוע (הלא הוא הנגזרת). לפיכך עבור פונקציות גזירות בקטע פתוח משמעות הקמירות היא שלכל $x_{0}\in\left(a,b\right)$ ולכן $x\in\left(a,b\right)$ מתקיים $$f\left(x\right)\ge f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$$

משפט חשוב נוסף הוא המשפט הבא:

קמירות ונגזרת שנייה

תהי $f$ גזירה פעמיים ב-$\left(a,b\right)$. $f$ קמורה בקטע $\left(a,b\right)$ אם, ורק אם לכל $x\in\left(a,b\right)$ $f''\left(x\right)\ge0$.

המשפט הזה נותן לנו אפיון פשוט אף יותר לפונקציות קמורות בקטע פתוח, בהנחה והן גזירות בו פעמיים.

משפט מיוחד מאוד שקשור בפונקציות קמורות והינו שימושי במיוחד בתורת האופטימיזציה הוא המשפט הבא:

קמירות ומינימום גלובלי

תהי $f$ גזירה ב-$\left(a,b\right)$ וקמורה. אם הנגזרת מתאפסת ב-$x_{0}$ כאשר $x_{0}\in\left(a,b\right)$ אזי $x_{0}$ הוא מינימום גלובלי בקטע.

תחזיקו חזק רגע מה אומר המשפט. משפט פרמה סיפר לנו שאם לפונקציה יש קיצון (מקומי או גלובלי) במקום בו הנגזרת קיימת, אז הנגזרת מתאפסת בנקודה זו. המשפט הזה אומר לנו ההפך ואפילו יותר: אם בנקודה מסויימת הנגזרת מתאפסת, אז לא רק שזו נקודת מינימום, זה גם מינימום גלובלי.

הוכחת משפט זה מתבססת על הקשר בין פונקציה קמורה למשיקים שלה. נניח שיש לנו נקודה כזאת $x_{0}\in\left(a,b\right)$ עבורה $f'\left(x_{0}\right)=0$. לפי הקשר בין פונקציה קמורה למשיקיה, לכל $x\in\left(a,b\right)$ מתקיים $$\begin{gathered}f\left(x\right)\ge\underbrace{f'\left(x_{0}\right)}_{=0}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)\\ f\left(x\right)\ge f\left(x_{0}\right) \end{gathered}$$ מאחר שזה נכון לכל $x$ בקטע, אזי $x_{0}$ הוא מינימום גלובלי.

לסיכום נציג שתי אחיות של הקמירות ועוד משפט מקסים לסיכום. תכונה מאוד דומה לקמירות היא התכונה המשלימה – קעירות. ברמה הויזואלית, זו פשוט פונקציה שמקופלת כלפי מטה. לפיכך כל אי-שיוויון שרשמנו לעיל שכולל את $f$ יקבל סימן הפוך עבור קעירות. עבור פונקציה קעורה וגזירה בקטע פתוח המשיקים נמצאים מעל הגרף, ואם היא גזירה פעמיים אז הנגזרת אינה חיובית. עבור פונקציה קעורה וגזירה בקטע פתוח, כל נקודה בה הנגזרת מתאפסת היא מקסימום גלובלי. דרך פשוטה להגדיר ש-$f$ קעורה היא על ידי כך ש-$-f$ קמורה.

תכונה נוספת, מחמירה יותר מקמירות היא קמירות ממש. היא מתקיימת עבור פונקציות בהן המיתר נמצא ממש מעל הפונקציה ואף פעם לא עליה. עבור פונקציות כאלו כל האי-שיוויונים החלשים שכתבנו שכוללים את $f$ הופכים להיות אי-שיוויונים חזקים.

סיכום

כאן תם טיולינו עם הפונקציות הקמורות. אני מקווה שעתה אתם מבינים היטב את הגדרת הקמירות עם הפרמטר, ויתכן שאפילו קצת מחבבים אותה. אני מבטיח לכם שהבנת ההצגות הפרמטריות תשתלם לכם לא רק בקורס הזה, אלא גם בקורסי ההמשך של פונקציות מרובות משתנים. שאלות הקמירות פחות נפוצות במבחנים אך בדיוק בגלל זה כשהן באות הן מפילות חזק. הכירו את הנושאים, המשפטים וההוכחות היטב וכך תגדילו את הסיכויים שלכם להצליח במבחן. עד כאן להיום, ונתראה בשמחות :)

---

1. לא מכירים? לכו לקרוא על רשימת הציוד המומלצת לשימוש באתר. ↩