סיכום
זהו סוף הפרק, אך זו רק תחילת המסע. מטרת הפרק הייתה לפקוח את עינייכם לתהליכים החבויים מאחורי שכבת הניסוח, ולמכניקה שמניעה את הטענות והמשפטים ובכך מייצרת טענות נכונות חדשות. לצורך המטרה, התבוננו בשאלות קלות במיוחד. שאלות כאלו מסירות מעליהן את הסיבוכים האלגבריים, ונותנות לנו להתמקד במה שמעניין אותנו באמת – איך כותבים הוכחות.
למדנו במהלך הפרק שניסוח ההוכחה יש בו מן האומנות. אך זה לא הכרחי. ניתן לכתוב הוכחות באופן די “טכני” וטוב שכך, כי טכני זה קל. אם תתמידו בכתיבה כזו, תוך זמן קצר המכניקה תהפוך להרגל, ואז הסתכלות בהוכחות אחרות אשר נכתבו בדרכים יותר “אומנותיות” תאפשר לכם לראות שגם שם הכללים עדיין מתקיימים, פשוט בניסוח שונה.
בפרק זה ראינו 8 דוגמות, וזהו מספר לא קטן להמחשת כל נושא שהוא, אך זה כמובן לא מספיק. אני מזמין אתכם לנסות להוכיח את כל התרגילים בפרק שוב בעצמכם, ואני מזמין אתכם לנסות להוכיח אותם בשיטות שלמדנו כאן. אם תעשו את זה ככה, אתם אמורים לקבל תשובות כמעט זהות למה שרשמנו כאן. מעבר לכך, חשוב להפוך את ההתבוננות העמוקה בשאלות הוכחה להרגל. כל הוכחה שאתם רואים עכשיו, בין אם בפתרון תרגיל, בתרגול, או בהרצאה, נסו לחפש בה את הכללים שלמדנו כאן. חפשו את כלל הברזל, את מתכון הסילוגיזם להגדרות, את כלל הקומפיילר ואת מתכון המשפטים. לנוחיותכם, אני מצרף אותם כאן במאוגד:
כאשר בהגדרה רשום הביטוי “לכל המקיים ” ברוב המקרים בהוכחה יופיע הביטוי “יהי המקיים ”
כאשר אנו רוצים להשתמש בהגדרה כחלק מההוכחה שלנו, נשתמש במתכון זה.
- נרשום תחילה סילוגיזם: הטענה הראשית לסילוגיזם שלנו תהיה ההגדרה בה אנו רוצים להשתמש.
- לאחר מכן נרכיב בעצמנו טענה משנית שיכולה להתאים לסילוגיזם. הטענה המשנית יכולה להיות כללית (בצורת “יהי משהו”) או ספציפית (בצורת “עבור המשהו הספציפי”).
- נרכיב גם מסקנה מתאימה לסילוגיזם.
עתה, כשיש לנו סילוגיזם ביד (טענה ראשית, טענה משנית ומסקנה), כל מה שנותר זה לכתוב בהוכחה את הפסוק הבא:
טענה משנית. לכן לפי שם הטענה הראשית מתקיים מסקנה.
יש לוודא שכל משתנה (אות לטינית) שמופיע בהוכחה הוגדר קודם לכן, בין אם על ידינו, או כמסקנה של סילוגיזם.
כאשר אנו רוצים להשתמש במשפט כחלק מההוכחה שלנו, נשתמש במתכון זה.
- נפרק לעצמנו את המשפט לשני חלקים: תנאים ומסקנות. בדרך כלל המשפט יפריד בין שני החלקים האלו על ידי מילת קישור של סיבה-תוצאה כמו “אזי”.
- נוודא כי התנאים הדרושים למשפט אכן תקפים. אם צריך להוכיח משהו מהם, נוודא שהוא הוא כבר הוכח.
עתה, כשפירקנו את המשפט לתנאים ומסקנות נרשום בהוכחה את הפסוק הבא:
האובייקט המתמטי שלנו מקיים את התנאים. לכן לפי שם המשפט מתקיים מסקנות.
(כאשר האובייקט המתמטי יכול להיות סדרה או פונקציה או אוסף של דברים כאלו ואחרים עליהם מתקיימים התנאים.)
אולי אמרתי זאת כבר בעבר, אבל אציין זאת שוב. לדעתי, היכולת לכתוב הוכחה טובה (שבנויה בין היתר על היכולות להבין הוכחה טוב), היא המטרה של הקורס של קורסי חדו”א מוכווני הוכחות. היא “הכלי” האמיתי שאתם יוצאים איתו מהקורס וישרת אתכם בכל קורס שתעשו שמכיל מתמטיקה (וזה לא רק קורסים בפקולטה למתמטיקה). כפי שאמרתי בפרק על הלמידה הטובה, כאשר מפתחים את היכולת הזו, שאלות ההוכחות הופכות לשאלות טכניות, ואז זה רק עניין של תרגול עד להצלחה.