הוכחות בעזרת משפטים

ישנו עוד סוג הוכחות חשוב שאנחנו צריכים לעבור עליו לפני שנוכל לצאת אל המסע המופלא שלנו בעולם ההוכחות. הנושא הזה לא יהיה מורכב יותר מדי, והוא מהווה ווריאצייה על הוכחות בעזרת הגדרה.

הוכחה בעזרת הגדרה, ולמעשה מתכון הסילוגיזם להגדרות, הקנה לנו את היכולת להשתמש בתכונות של הסדרה (או הפונקציה בעתיד) על מנת להוכיח דברים נוספים. לעיתים קרובות, תכונות רבות של הסדרות והפונקציות לא נובעות רק מהגדרות, אלא ממשפטים (Theorems). משפטים, אם מאמצים את העיניים מספיק, נראים די דומה להגדרות מבחינת העסקים שהם עושים איתנו. בואו נסתכל על הגדרה ועל משפט, ונראה מה נותן כל אחד.

בתור הגדרה ניקח את הגדרת הגבול הישנה, הטובה, האהובה. חצי מהפרק הזה בילינו איתה, אבל על מנת שלא נתבלבל, אכתוב אותה שוב:

הגדרת הגבול

מספר $L$ הוא גבול של סדרה $a_{n}$ אם, ורק אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$

בתור משפט אבחר גרסה צנועה של משפט ידוע ומוכר:

גרסה צנועה של משפט אהוב

כל סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלמעלה מתכנסת לסופרמום שלה.

אנלוגיה שאני מאוד אוהב כדי להבין מה “נותנת” לנו הגדרה היא אנלוגית העסקים. בהסתכלות עסקית, כל הגדרה או משפט מקבלים מאיתנו משהו ומחזירים לנו משהו בתמורה. בהקשר של הסילוגיזם, מה שאנחנו נותנים להם בדרך כלל יהיה הטענה המשנית, ומה שהם מחזירים זו המסקנה. איך בעצם נראים העסקים שלנו עם הגדרת הגבול? אנחנו באים אליה עם $\varepsilon$ חיובי, והיא מחזירה לנו $N$ כך שלכל האינדקסים בסדרה שגדולים מ-$N$ מתקיים אי-השיוויון המפואר.

לפי אותה אנלוגיה, מה ניתן לגרסה הצנועה של המשפט האהוב? במקרה הזה ניתן לה סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלמעלה, והיא בתמורה תתן לנו את הידיעה הנעימה שהגדרת הגבול תקפה לסדרה שלנו, ואפילו תלחש באוזננו מהו הגבול.

וכשזה מגיע לשאלת הניסוח הפומרלי, גם לתהליך סחר החליפין הזה יש ניסוחים רבים, והרבה בילבול סביבם. על כן, כמו במקרה של הוכחות לפי הגדרה, אציע לכם ניסוח שניתן להשתמש בו כל הזמן כאשר אנו רוצים להשתמש במשפט, או לבצע עסקים איתו.

המתכון לשימוש במשפטים

כאשר אנו רוצים להשתמש במשפט כחלק מההוכחה שלנו, נשתמש במתכון זה.

1. נפרק לעצמנו את המשפט לשני חלקים: תנאים ומסקנות. בדרך כלל המשפט יפריד בין שני החלקים האלו על ידי מילת קישור של סיבה-תוצאה כמו “אזי”.
2. נוודא כי התנאים הדרושים למשפט אכן תקפים. אם צריך להוכיח משהו מהם, נוודא שהוא הוא כבר הוכח.

עתה, כשפירקנו את המשפט לתנאים ומסקנות נרשום בהוכחה את הפסוק הבא:

האובייקט המתמטי שלנו מקיים את התנאים. לכן לפי שם המשפט מתקיים מסקנות.

(כאשר האובייקט המתמטי יכול להיות סדרה או פונקציה או אוסף של דברים כאלו ואחרים עליהם מתקיימים התנאים.)

אם תשוו את המתכון הזה למתכון של ההגדרות, תראו שיש קצת דמיון. את הטענה המשנית במתכון הסילוגיזם, למשל, החלפנו בציון התנאים של המשפט. למעשה זה לא ממש במקרה. יש קשר הדוק בין הסילוגזימים שהשתמשנו בהם להגדרות לבין המשפטים. בעוד שהגדרות נראות בדרך כלל בצורת “לכל $x$ קיים $y$ שמקיים…”, משפטים בדרך כלל בנוים בצורה של “אם מתקיימים א’,ב’,ג’, אזי יתקיים גם ד’,ה’,ו’”. באופן כללי קיימת שקילות בין טענות כאלו, כלומר כל טענה מסוג אחד ניתן לנסח מהסוג השני ולהפך, והמשמעות אינה תשתנה. הסיבה שלפעמים רושמים ככה ולפעמים ככה היא בעיקר קריאות והבנה. הסוג הראשון, כמו זה שנהוג לראות בהגדרות, מתאר תכונות של העולם. לעומת זאת הסוג השני, שנפוץ במשפטים, מדגיש יותר קשר של סיבה ותוצאה.

נקודה חשובה נוספת קשורה באיך באמת מנסחים את החלק של התנאים בהוכחה. החלק הזה הוא די פשוט: רושמים במפורש שהתנאים מתקיימים לדוגמה שלנו. חשוב להדגיש שאפשר ונכון לרשום את זה רק אחרי שווידאנו שהם באמת מתקיימים. ייתכן מאוד שהחלק הקודם של ההוכחה (אם קיים) מוקדש ללהוכיח שחלק מהתנאים האלו מתקיימים. ציון התנאים מתקשר לנקודה חשובה של מה זה“ציטוט משפטים”, אבל בה נדון בהמשך אחרי שנראה דוגמה ונבין קצת מה באמת קורה פה.

נתחיל עם דוגמה פשוטה במיוחד. נעבור לדוגמה לא פשוטה. לבסוף נקח את אותה שאלה שהוכחנו מקודם בעזרת הגדרת הגבול, והפעם נשתמש במשפטים.

דוגמה – פשוטה זה שכואב

הוכיחו (לא לפי הגדרה) שמתקיים $$\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+3n}{5n^{3}+2}=0$$

תכנית משחק

כל פעם שמבקשים מאיתנו לחשב גבול, דבר ראשון מכניסים אותו לוולפראם הקטן שיש לכל אחד ואחת מאיתנו בראש, וחושבים לאן הסדרה שואפת. המונה – לאינסוף. המכנה – גם לאינסוף. אז מה, אינסוף חלקי אינסוף נלך הביתה? מה פתאום, בדיוק התחיל להיות מעניין. המונה אומנם שואף לאינסוף, אבל תכל’ס, מי שבאמת דומיננטי¹ בו כשהמספרים נהיים גדולים זה $2n^{2}$. במכנה, הגורם הדומיננטי הוא $5n^{3}$. וכמו ש-$2n^{2}$ יותר דומיננטי מחברו למונה $3n$, כך גם $5n^{3}$ יותר דומיננטי מ-$2n^{2}$ כשהמספרים נהיים גדולים. אז בעצם, עבור $n$-ים גדולים, המכנה נהיה הרבה יותר גדול מהמונה, ולכן כל הסדרה שואפת ל-0. אפשר גם להצדיק את זה עם הקירוב המתמטי המאוד-לא-מתקבל-כהוכחה הבא $$\frac{2n^{2}+3n}{5n^{3}+2}\underbrace{\approx}_{n\text{ is super-big}}\frac{2n^{2}}{5n^{3}}=0.4\frac{1}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$ איך באמת מראים את זה? אני אוהב לקרוא לשיטה הזו “קרב חזקות”. כל אחד, המונה והמכנה, מציג לראווה את החזקה הגדולה שלו. כלומר $$\frac{2n^{2}+3n}{5n^{3}+2}=\frac{n^{2}\left(2+\frac{3}{n}\right)}{n^{3}\left(5+\frac{2}{n^{3}}\right)}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{2}{n^{3}}}$$ ובתצוגה הזו למעשה יש לנו מכפלה של שלוש סדרות $$a_{n}=\frac{1}{n},\quad b_{n}=2+\frac{3}{n},\quad c_{n}=\frac{1}{5+\frac{2}{n^{3}}}$$ כל אחת מהסדרות האלו, גבולן ידוע וברור $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,\quad\lim_{n\to\infty}b_{n}=2,\quad\lim_{n\to\infty}c_{n}=\frac{1}{5}$$ אז אנחנו יודעים את הגבול של כל אחת מהסדרות בנפרד. האם זה אומר משהו על הגבול של המכפלה שלהן? זה בדיוק מסקנתו של משפט יקר ואהוב, משפט “חשבון גבולות”. בואו נזכר בגרסה צנועה שלו ונראה למה הוא מאוד שימושי כאן.

גרסה מוגבלת של חשבון גבולות

אם $\lim_{n\to\infty}a_{n}=A$ וגם $\lim_{n\to\infty}b_{n}=B$ אזי $$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n}\cdot\lim_{n\to\infty}b_{n}=A\cdot B$$

מהות המשפט בדיוק עונה על השאלה ששאלנו קודם: אם אנחנו יודעים את הגבולות של כל אחת מהסדרות בנפרד, אנחנו יודעים את הגבול של המכפלה בינהן. זו נקודה נחמדה להעריך את המשפט המופלא הזה. באופן “גרפי”, הוא מאפשר לנו לקחת את פעולת הגבול, ולהפעיל אותה באופן עצמאי על כל אחת מהסדרות בנפרד. זו למעשה, השאפה בחלקים. אנחנו משאיפים קודם חלק אחד, ואחר כך חלק אחר. “אבל רגע אחד קאובוי”, וודאי תגידו, “מגיל צעיר לימדו אותנו שהשאפה בחלקים זה אוי ואבוי”. ואני אומר בתגובה שלימדו אתכם יפה. אין משפט “השאפה בחלקים” כי זה באמת לא תמיד נכון. לעומת זאת יש משפט “חשבון גבולות” והוא תמיד נכון.

בואו נעבוד לפי המתכון לשימוש במשפטים. בשלב הראשון, אנחנו צריכים לזהות מה אנו נותנים למשפט, ומה הוא נותן לנו חזרה. בדרך כלל, מה שהמשפט נותן לנו חזרה יופיע אחרי מילת הקישור של ה”סיבה/תוצאה” (כמו אזי), וכל מה שאנחנו חייבים לו יופיע לפני מילת הקישור. רוב המשפטים יבקשו מאיתנו מספר דברים בתמורה לדבר החביב שהם מחזירים לנו. ישנם גם משפטים שדורשים קצת ונותנים הרבה בחזרה (למשל אומרים לנו שגם סדרה מתכנסת וגם מה הגבול שלה), וישנם משפטים שלוקחים מלא ומחזירים מלא².

קחו לעצמכם תרגיל: כתבו מה דורש מאיתנו המשפט, ומה נותן לנו המשפט.

כדי לא להשאיר אתכם במתח, הנה פענוח החידה: מה שהמשפט דורש מאיתנו זה לדעת ששתי הסדרות, שאחר כך נרצה לחשב את גבול המכפלה שלהן, מתכנסת כל אחת, ושאנו יודעים את הגבול שלהן. מה שהמשפט מחזיר לנו זה את הידיעה הנפלאה שגם סדרת המכפלות מתכנסת, ומספר לנו שהגבול שלה הוא מכפלת הגבולות.

השלב השני במתכון הוא לוודא שאכן כל התנאים של המשפט (מה שהוא דורש מאיתנו) מתקיים. נקודה חשובה לציין, היא שבעוד שהניסוח המקורי של משפט חשבון גבולות תמיד דן בחשבון של שתי סדרות, הוא נכון גם לכל חשבון של מספר סופי של סדרות. (ומספר סופי זה חשוב, כי הוא לא נכון במקרה של מספר אינסופי של סדרות, למשל במקרה של הסדרה $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$.) האם התנאים מתקיימים? בעיקרון כן. ואני אומר בעיקרון כי גם את הגבולות של הסדרות שלנו $a_{n}$, $b_{n}$ ו-$c_{n}$ אפשר להוכיח עם – ניחשתם נכון – חשבון גבולות. אבל במקרה של הסדרות האלו, שהן כל כך פשוטות, לעיתים קרובות מציינים ישר מה הגבולות שלהן, וכך נעשה גם אנחנו. (זה לא דבר מאוד פשוט לומר, ודורש לראות הרבה הוכחות כדי להבין מה העיקר בהוכחה וצריך הוכחה, ומה לא ואפשר לקוות שהבודק יקבל גם בלי בדיקה. פשוט שימו לב בכל פתרון הוכחה שאתם רואים מה מניחים כנכון ומה מוכחים.)

אחרי שעברנו על שני שלבי המתכון, אנחנו מוכנים לנסח את מה שנכתוב בהוכחה. מאחר שזו פעם ראשונה שאנו עושים זאת, אני אוביל:

הסדרות $a_{n}=\frac{1}{n},\quad b_{n}=2+\frac{3}{n},\quad c_{n}=\frac{1}{5+\frac{2}{n^{3}}}$ מתכנסות לגבולות $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,\quad\lim_{n\to\infty}b_{n}=2,\quad\lim_{n\to\infty}c_{n}=\frac{1}{5}$$ לכן לפי חשבון גבולות מתקיים $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cdot\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{2}{n^{3}}}=0\cdot\frac{2}{5}=0$$

בואו נסכם מה עומד לקרות. ראשית נראה שניתן לכתוב את הסדרה שלנו בצורה הבאה $\frac{1}{n}\cdot\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{2}{n^{3}}}$. לאחר מכן נשתמש במתכון המשפטים על חשבון גבולות כדי להוכיח שהגבול שלה הוא 0.

הוכחה

1. מתקיים כי $$\frac{2n^{2}+3n}{5n^{3}+2}=\frac{n^{2}\left(2+\frac{3}{n}\right)}{n^{3}\left(5+\frac{2}{n^{3}}\right)}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{2}{n^{3}}}$$
2. הסדרות $a_{n}=\frac{1}{n},\quad b_{n}=2+\frac{3}{n},\quad c_{n}=\frac{1}{5+\frac{2}{n^{3}}}$ מתכנסות לגבולות $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,\quad\lim_{n\to\infty}b_{n}=2,\quad\lim_{n\to\infty}c_{n}=\frac{1}{5}$$ לכן לפי חשבון גבולות מתקיים $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cdot\frac{2+\frac{3}{n}}{5+\frac{2}{n^{3}}}=0\cdot\frac{2}{5}=0$$

ניתוח ההוכחה

זו דוגמה לא מאוד מסובכת, והיא אמורה לאפשר לכם לראות את העקרונות מאחורי המילים והניסוחים. הפסוק הראשון הוא מניפולציה אלגברית סטנדרטית בהקשר של גבולות של מנה. הפסוק השני הוא בדיוק שימוש במתכון המשפטים שלנו. אני מתאר לעצמי שעל אף שהדוגמה פשוטה, הרעיון מאחורי הניסוח לא תמיד נופל בפעם הראשונה. לפיכך בואו נתפנק בעוד שתי דוגמות.

דוגמה – כבר לא כל כך פשוטה

הוכיחו כי מתקיים $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

תכנית משחק

שאלת קצת מאיימת במבט ראשון. עצרות, שורשים מסדר גבוה, $\mathrm{e}$. המטרה היא לא להפחיד אתכם, אני אטפל עכשיו בסיבוכים. המטרה שלכם היא להתמקד במכניקה של כתיבת ההוכחה.

מבחינת הלוגיקה מאחורי ההוכחה, היא לא הולכת להיות מסובכת יותר. גם אלגברית היא לא מסובכת יותר. בסופו של יום אנחנו נשתמש רק במשפט אחד (פלוס חשבון גבולות קטן) כדי להוכיח כל מה שאנחנו צריכים. זאת בניגוד לדוגמה אחריה שם נשתמש בשני משפטים כדי להוכיח מה שאנחנו צריכים. מה שכן מסובך כאן זה רעיון לא כל כך טריוויאלי שיוביל לשימוש במשפט היחיד שאנחנו צריכים כאן. אז נלך ישר לעניין. על הסדרה שאנו מעוניינים בגבול שלה, ניתן להסתכל באופן הבא $$\frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}$$ מה עשינו? הכנסנו את $\frac{1}{n}$ לתוך השורש. על מנת שהביטוי ישאר שקול, העלנו אותו בחזקת $n$. בואו נסמן את הסדרה הבאה $$a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$$ למעשה אנחנו צריכים לחשב את הגבול הבא $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}$$ ובשביל לחשב גבול כזה, ניתן להשתמש במשפט המקסים הבא

המשפט המקסים

אם $a_{n}>0$ לכל $n$ וגם $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$ אזי $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$.

מה המשפט המקסים הזה נותן לנו? במקום לחשב את $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}$, אפשר לחשב את $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. ולמה לחשב את הגבול הזה זה כל כך מדליק אתם שואלים? בגלל העצרת.

כאשר הסדרה שלנו כוללת מכפלה של עצרות, אז סדרת המנות $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ תבטל את העצרות בצורה נפלאה. שימו לב $$\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} & =\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}}{\frac{n!}{n^{n}}}\\ & =\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}\\ & =\frac{\left(n+1\right)!}{n!}\cdot\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\\ & =\frac{\left(n+1\right)\cdot{\color{blue}n\cdot\dots\cdot2\cdot1}}{\color{blue}n\cdot\dots\cdot2\cdot1}\cdot\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\\ & ={\color{orange}\left(n+1\right)}\cdot\frac{n^{n}}{\color{orange}\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\\ & =\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} \end{aligned}$$ ראיתם איך העצרת הלכה לעזאזל? פנטסטי. עכשיו מה נעשה עם הביטוי $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$? ובכן, בסיס החזקה שואף ל-1, ומעריך החזקה שואף ל-$\infty$. וכל תינוק בן יומו יודע ש-1 בחזקת $\infty$ זה:

ממש לא 1. הרשו לי לדייק: 1 בחזקת כל דבר זה 1. אבל אצלנו בסיס החזקה הוא לא 1, הוא שואף ל-1. ושואף ל-1 בחזקת $\infty$ יכול להיות הרבה דברים. להלן דוגמה $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\mathrm{e}$$ ואם כבר בגבול של $\mathrm{e}$ עסקינן, שימו לב שהסדרה ששואפת ל-$\mathrm{e}$ דומה מאוד לסדרה שלנו $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}$$ למעשה אצלנו המצב הוא $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}$$ ולכן לפי חשבון גבולות $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

בואו נעבוד לפי מתכון המשפטים שלנו על מנת להבין איך לנסח את המהלך שראינו עכשיו. בעיקרון, אנו משתמשים בגרסה מצומצת אחרת של חשבון גבולות כאן, שהניסוח הפורמלי שלה הוא

גרסה מצומצת נוספת של חשבון גבולות

אם $\lim_{n\to\infty}a_{n}=A$ וגם $\lim_{n\to\infty}b_{n}=B\ne0$ וגם $b_{n}\ne0$ החל ממקום מסויים אזי $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_{n}}{\lim_{n\to\infty}b_{n}}=\frac{A}{B}$$

עכשיו נעבוד לפי שני שלבי המתכון. ראשית נפרק את המשפט לתנאים ומסקנות. כמו תמיד, אני מזמין אתכם להפסיק לקרוא לרגע ולנסות לעשות זאת בעצמכם.

התנאים של המשפט הם: ידיעת הגבול של $a_{n}$, ידיעת הגבול של $b_{n}$, ווידוא שהגבול של $b_{n}$ אינו אפס (אחרת המנה לא מוגדרת), ובנוסף ש-$b_{n}$ החל ממקום מסוים שונה מאפס (אחרת מנת הסדרות לא מוגדרת היטב ואי-אפשר לדבר על הגבול שלה.

השלב השני במתכון הוא לוודא שכל התנאים מתקיימים במקרה שלנו. אז מי הן הסדרות שמחלקים אותן אצלנו? הסדרה במונה היא ההסדרה הקבועה $1$, והסדרה במכנה היא הסדרה הידועה בפומבי $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$. את הגבול של שתי הסדרות אנו יודעים. בנוסף הסדרה במכנה היא חיובית ממש וכמו כן גם הגבול שלה. אם כך, כל התנאים מתקיימים.

כיצד ננסח את השימוש במשפט? (שוב, אתם מוזמנים להשתמש בתבנית במתכון ולהשוות מיד לאחר מכן.)

הסדרה $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ היא חיובית ממש ומתכנסת ל-$0<\mathrm{e}$. כמו כן $\lim_{n\to\infty}1=1$. לכן לפי חשבון גבולות $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

וכמו תמיד, מרגע שאנו נכתוב את המסקנה על הדף, היא נכונה. מסקנה זו בעצם מספרת לנו $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. עכשיו המשפט המקסים שאנו משתמשים בו יבטיח לנו שגם $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. וכדי להבין כיצד ננסח את השימוש, נחזור למתכון המשפטים האהוב. אז המשפט שאנו משתמשים בו רשום כאן. ראשית נפרק את המשפט לתנאים ומסקנות.

התנאים למשפט הם שהסדרה שלנו שאנו מתבוננים בה, במקרה שלנו $a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$, תהיה חיובית ממש לכל $n\in\mathbb{N}$, וגם תקיים את הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$. המסקנה של המשפט זה שגם $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$.

השלב השני במתכון הוא לוודא שהתנאים מתקיימים. התנאי שהסדרה $a_{n}$ חיובית ממש תמיד מתקיים. אך שימוש לב שהתנאי השני $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$, הוא לא נתון משמיים, וכאשר נגיע לחלק שאנו משתמשים במתכון המשפטים עבור המשפט המקסים אנחנו חייבים לוודא שקודם נוכיח את הגבול הזה, על ידי מניפולציות אלגבריות וחשבון גבולות כפי שראינו לעיל. זה כבר נותן לנו מבנה לוגי להוכחה. קודם מתחילים בלהוכיח את הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$, ורק אחר כך משתמשים במשפט הקסם.

כאשר יש לנו את שני התנאים האלו, נכתוב בהוכחה (לפי המתכון):

מתקיים כי $a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$ חיובית לכל $n$, וכמו כן $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. לכן לפי משפט מההרצאה $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

ומהרגע שאנו כותבים את המסקנה היא הופכת לאמת, רק שהפעם האמת הזו יקרה לליבנו, כי היא מה שהיינו צריכים להוכיח.

נסכם מה עומד לקרות בהוכחה. ראשית נגדיר את סדרה העזר שלנו $a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$. לאחר מכן, בעזרת מניפולציות אלגבריות ושימוש במשפט חשבון גבולות נוכיח כי $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. לבסוף נשתמש במשפט המקסים ונוכיח את המסקנה. יאללה בלאגן.

הוכחה

1. נגדיר $a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$.
2. מתקיים $$\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} & =\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}}{\frac{n!}{n^{n}}}\\ & =\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}\\ & =\frac{\left(n+1\right)!}{n!}\cdot\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\\ & =\frac{\left(n+1\right)\cdot{\color{blue}n\cdot\dots\cdot2\cdot1}}{\color{blue}n\cdot\dots\cdot2\cdot1}\cdot\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\\ & ={\color{orange}\left(n+1\right)}\cdot\frac{n^{n}}{\color{orange}\left(n+1\right)^{\left(n+1\right)}}\\ & =\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\\ & =\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \end{aligned}$$
3. הסדרה $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ היא חיובית ממש ומתכנסת ל-$0<\mathrm{e}$. כמו כן $\lim_{n\to\infty}1=1$. לכן לפי חשבון גבולות $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$
4. בנוסף מתקיים כי $a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$ חיובית לכל $n$, וכמו כן $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. לכן לפי משפט מההרצאה $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

ניתוח ההוכחה

מילה על נימוקים. ההוכחה, אם מתעלמים מהמניפולציה האלגברית שלקחה 7 שורות לעומק, זקוקה לארבעה משפטים סך הכל. יחד עם זאת, יש כאלו שיחשבו כי ניתן לכתוב אותה באופן קצר יותר. לעיתים קרובות את פסוק 3 (שמתאר שימוש בחשבון גבולות) פשוט מוחקים ובסוף של פסוק 2 מסמנים משהו בסגנון $$=\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=\frac{1\longrightarrow1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow\mathrm{e}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{\mathrm{e}}$$ ובכך נחסך משפט תמים. האם יש יתרון למהלך כמו זה? לא בעיני. ראשית, מחקנו בסך הכל משפט אחד, וזה לא חיסכון כזה גדול. שנית, כל המהלך הלוגי שעשינו, בו משפט גורר משפט וכן הלאה, עובר מן הנייר אל הראש שלנו, ובכך מקשה עלינו לנסח את ההוכחה. לכן אני חושב שכדאי לכתוב בצורה מפורטת, ולהבין מה עושים באופן מפורש.

הדוגמה הבאה תהיה מעט קשה יותר, אך דומה יותר להוכחות אמיתיות.

דוגמה – הוכחה בעזרת משפטים (שיטת חד-גדיא)

תהי $a_{n}$ סדרה ו-$L\in\mathbb{R}$. הוכיחו כי אם קיימת סדרה $b_{n}$ אי-שלילית השואפת לאפס ומקיימת לכל $n\in\mathbb{N}$ $\left|a_{n}-L\right|<b_{n}$, אזי $\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$.

הפעם נעזר במשפטים במקום בהגדרת הגבול.

תכנית משחק

הוכחות בעזרת משפטים, בשונה מהוכחות לפי הגדרה, דורשות הכרה טובה עם משפטים, וקמצוץ אינטואיציה. הדגש הוא בעיקר על הכרה טובה, כי האינטואיציה בדרך כלל קיימת, החוכמה היא לפרמל אותה בעזרת משפטים. דרך טובה להתחיל הוכחה בעזרת משפטים היא להתקדם מהנתונים. לחשוב לעצמנו “איזה משפט נראה קשור לנתונים בצורה כלשהי?”³.

בואו נתסכל על הנתונים. כשאנחנו מסתכלים על אי-השיוויון שנתון לנו לכל $n$ טבעי $\left|a_{n}-L\right|<b_{n}$, מה אנחנו רואים? אנחנו יודעים שהמרחק בין $a_{n}$ לגבול, חסום על ידי גודל שהולך ונהיה קטן יותר ויותר. מאחר שהמרחק בין איברי הסדרה לגבול הוא תמיד גדול או שווה ל-0, זה לא משאיר למרחק הזה הרבה ברירות אלא פשוט להתכווץ לאפס בעצמו!

זאת הייתה האינטואיציה, עכשיו מגיע החלק המעניין באמת, והוא להבין איזה משפט מתאר את הסרט המרגש הזה שרץ לנו הרגע בראש. המשפט שמתאר התנהגות כזאת של “לחיצה משני הצדדים” הוא משפט הסנדוויץ’. בואו נזכר יחדיו:

משפט הסנדוויץ'

יהיו $a_{n},b_{n}$ ו-$c_{n}$ שלוש סדרות המקיימות לכל $n$ טבעי $$a_{n}\le b_{n}\le c_{n}$$ כאשר הסדרות $a_{n}$ ו-$c_{n}$ מקיימות $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=L$$ אזי $$\lim_{n\to\infty}b_{n}=L$$

בואו נשקיע רגע בלהבין מה “העסקה” שלנו פה עם המשפט, ואז נבין איך זה קשור למקרה שלנו (זהו בדיוק שלב 1 במתכון). קחו לעצמכם תרגיל לפני שאתם ממשיכים לקרוא ונסו להבין לבד (רמז: שימו לב איפה מילת הקישור הרלוונטית).

המשפט דורש מאיתנו שלוש סדרות שמקיימות אי-שיוויון מסוים לכל $n$ טבעי⁴. זה הכל? לא, הוא דורש מאיתנו דבר נוסף: ששתי הסדרות הקיצוניות (הגדולה ביותר והקטנה ביותר) ישאפו לאותו הגבול $L$.

ומה נותן לנו המשפט בחזרה אם התנאים מתקיימים? אם וכאשר שני התנאים האלו מתקיימים, מבטיח לנו המשפט דבר מופלא: שגם הסדרה באמצע, $b_{n}$, תתכנס לאותו הגבול. האינטואציה של המשפט היא שככל ש-$a_{n}$ ו-$c_{n}$ מתקרבות לגבול המשותף שלהן, $b_{n}$, שלא יודעת דבר בחיה הפשוטים חוץ מלחיות בין $a_{n}$ ל-$c_{n}$ חייבת להתקרב לשם גם.

שימו לב איך האינטואיציה הזו חופפות עם האינטואציה שהרגשנו מקודם לגבי $\left|a_{n}-L\right|$. סדרת המרחקים הזו חיה בין $b_{n}$ ששואפת ל-0, לבין הסדרה הקבועה $0$ שכמובן לשואפת לאפס, ולכן היא בעצמה תשאף ל-0. זו אגב נקודת זכות לטובת “למה חשוב להבין את האינטואיציה מאחורי משפטים”. כי זה עוזר לנו לזהות מתי להשתמש בהם.

ועכשיו לשאלת הניסוח. איך מנסחים שימוש במשפט הסנדוויץ, במקרה שלנו? ראשית נזהה מי אלו הסדרות $a_{n},b_{n}$ ו-$c_{n}$ אצלנו. דרך אחת היא לקחת את אי-השיוויון הבא

$$0\le\left|a_{n}-L\right|<b_{n}$$ ולכן הסדרה הגדולה ביותר היא $b_{n}$, הסדרה הקטנה ביותר היא סדרה קבועה על הערך 0, וסדרת הסנדוויץ’ (האמצעית) היא סדרת המרחקים $\left|a_{n}-L\right|$. אך במקרה הזה, המסקנה של המשפט תהיה

$$\lim_{n\to\infty}\left|a_{n}-L\right|=0$$ האם זה מה שצריך להוכיח? לא. האם זה רע? גם לא. פשוט אם הולכים בכיוון הזה, יש עוד קצת עבודה להגיע מכאן ועד לגבול המבוקש $\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$.

דרך נוספת שניתן לקחת היא דווקא להסתכל על אי-השיוון $\left|a_{n}-L\right|<b_{n}$ בצורה קצת שונה $$-b_{n}<a_{n}-L<b_{n}$$ או ליתר דיוק $$L-b_{n}<a_{n}<L+b_{n}$$ עתה הסדרה הגדולה ביותר היא $L+b_{n}$, הסדרה הקטנה ביותר היא $L-b_{n}$, וסדרת הסנדוויץ’ היא $a_{n}$. לכן המסקנה של שימוש במשפט הסנדוויץ תתן לנו גבול על $a_{n}$. מעולה.

האם כל התנאים למשפט הסנדוויץ מתקיימים? ובכן אי-שיוויון שתקף לכל $n$ יש. האם שתי הסדרות הקיצוניות שואפות לאותו הגבול? אינטואיטיבית הן שואפות, הרי אם $b_{n}$ שואפת ל-0, אז כשנוסיף לה $L$ היא פשוט תשאף ל-$L$. (אותו הגיון גם תקף ל-$\left(L-b_{n}\right)$.) אך האם האינטואיציה מספיקה? על אף שזה נראה “ברור מאליו”, גם התופעה הזו מגובה על ידי משפט מההרצאה. ובאופן כללי:

אם אפשר לנמק חלק בהוכחה בעזרת משפט מההרצאה – עושים את זה.

ברצינות, זו נקודה חשובה. אם זה היה כל כך ברור מאליו, לא היו מציינים את זה בהרצאה.

שימו לב לדבר המעניין שקרה כאן: באנו להשתמש במתכון המשפטים על משפט הסנדוויץ’, אבל גילינו שאנחנו קודם צריכים להוכיח שחלק מהתנאים מתקיימים. (אני אומר חלק כי את אי-השיוויון כבר יש לנו.) ספציפית אנחנו צריכים להוכיח שהסדרה הגדולה ביותר שואפת לאותו הגבול כמו הסדרה הקטנה ביותר, כלומר $$\lim_{n\to\infty}L+b_{n}=\lim_{n\to\infty}L-b_{n}=L$$ זהו חלק חשוב משלב 2 במתכון לשימוש במשפטים (אם לא שמתם לב, עכשיו תשימו). אנחנו צריכים לוודא שהתנאים למשפט מתקיימים, ואם הם לא מתקיימים (לפחות לא באופן טריוואלי שלא צריך גיבוי של משפט) אז אנחנו מוכיחים אותם.

כיצד נוכיח את הגבול $\lim_{n\to\infty}L+b_{n}=L$ למשל? ובכן, אם נסתכל באופן קצת משונה על הסדרה $b_{n}+L$ כסכום של הסדרה $b_{n}$ עם הסדרה הקבועה שערכיה הם $L$, אז למעשה הגבול שאנחנו צריכים לחשב הוא הגבול של סכום הסדרות. וכאשר המצב קורא לחישוב גבול של חשבון כלשהו של סדרות, זהו הזמן למשפט “חשבון גבולות”.

בחירות לא טובות – קווים לדמותן

חשבון גבולות זה למעשה אוסף משפטים, ואנחנו נעזר בגרסה אחת ספציפית שלו.

עוד גרסה מוגבלת של חשבון גבולות

אם $\lim_{n\to\infty}a_{n}=A$ וגם $\lim_{n\to\infty}b_{n}=B$ אזי $$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}\pm b_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n}\pm\lim_{n\to\infty}b_{n}=A\pm B$$

כמו תמיד, מאחר שאנו רוצים להשתמש במשפט, נעבוד לפי המתכון. זהו מתכון בתוך מתכון. תכננו להשתמש במשפט הסנדוויץ’, אבל קודם נצטרך חשבון גבולות. כדי לעודד קצת מחשבה, הנה תרגיל לכם: פרקו את המשפט למה אנחנו חייבים למשפט, ומה הוא נותן לנו בתמורה.

מה דורש ממנו המשפט? המשפט דורש ממנו לדעת ששתי הסדרות שאחר כך יחברו אותן, מתכנסת כל אחת בנפרד. מה מחזיר לנו המשפט? שסדרת הסכומים (או ההפרשים) בין הסדרות, סדרה עצמאית עם מחשבות משל עצמה, מתכנסה לסכום (או הפרש) הגבולות של כל סדרה בנפרד.

מי הן הסדרות הפועלות? אז לפי הפירוק שעשינו לעיל, אפשר להבין שסדרה אחת היא הסדרה הנתונה $b_{n}$, שאנו יודעים שמתכנסת ל-0. הסדרה השניה היא הסדרה הקבועה $L$, שאנו יודעים שמתכנסת ל-$L$. אז פירקנו את המשפט (שלב 1 במתכון) ובדקנו כי התנאים מתקיימים (שלב 2). מה נכתוב בהוכחה? אני מזמין אתכם לנסות בעצמכם לפענח מה יהיה הניסוח. עכשיו נשווה עם התוצאה הבאה:

מתקיים כי $\lim_{n\to\infty}b_{n}=0$ וכן $\lim_{n\to\infty}L=L$. לכן לפי חשבון גבולות $$\lim_{n\to\infty}L+b_{n}=\lim_{n\to\infty}L+\lim_{n\to\infty}b_{n}=L$$ וגם $$\lim_{n\to\infty}L-b_{n}=\lim_{n\to\infty}L-\lim_{n\to\infty}b_{n}=L$$

וכמו שאמרנו קודם, ברגע שאנחנו רושמים את מסקנת המשפט בסוף המתכון, היא הופכת לעובדה חדשה. עוד נקודה חשובה היא שלמעשה הזדכנו על שתי מסקנות: גם על הסדרה $L+b_{n}$ וגם על הסדרה $L-b_{n}$. אפשר לעשות את זה במקרה הזה כי התנאים זהים לשני המקרים האלו (פשוט המשפט המקשר הוא קצת שונה).

ומאחר שעכשיו זוהי עובדה, אז יש לנו את כל התנאים שאנחנו צריכים למשפט הסנדוויץ’. אז קחו רגע להיזכר במתכון המשפטים, ונסו לחשוב מה נרשום בניסוח של משפט הסנדוויץ’.

לפי המתכון, מה שנרשום בהוכחה יהיה

“לכל $n\in\mathbb{N}$, מתקיים $L-b_{n}<a_{n}<L+b_{n}$. בנוסף $$\lim_{n\to\infty}L+b_{n}=\lim_{n\to\infty}L-b_{n}=L$$ לכן לפי משפט הסנדוויץ מתקיים $\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$.”

וכמו מקודם, ברגע שהמסקנה נרשמת על הדף, היא נתון חדש. אבל היי, זה בדיוק מה שאנחנו צריכים להוכיח. פנאן.

בואו נסכם. ההוכחה הזו בנויה משימוש חוזר של מתכון המשפטים. ספציפית, אנחנו משתמשים בו פעמיים. בפעם הראשונה משתמשים בו בחשבון גבולות כדי לקבל ש- $$\lim_{n\to\infty}L+b_{n}=\lim_{n\to\infty}L-b_{n}=L$$ ואחר כך משתמשים בו במשפט הסנדוויץ’ כדי לקבל את המסקנה $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$$ בואו נכתוב את ההוכחה.

הוכחה

1. מתקיים כי $\lim_{n\to\infty}b_{n}=0$ וכן $\lim_{n\to\infty}L=L$. לכן לפי חשבון גבולות $$\lim_{n\to\infty}L+b_{n}=\lim_{n\to\infty}L+\lim_{n\to\infty}b_{n}=L$$ וגם $$\lim_{n\to\infty}L-b_{n}=\lim_{n\to\infty}L-\lim_{n\to\infty}b_{n}=L$$
2. בנוסף, לכל $n\in\mathbb{N}$, מתקיים $L-b_{n}<a_{n}<L+b_{n}$. לכן לפי משפט הסנדוויץ מתקיים $\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$.

ניתוח ההוכחה

בום. זה נגמר מהר.

בהוכחה שכתבנו עתה, כל פסוק מתאר את אחד מהשימושים במתכון המשפטים. יש רק נקודה אחת שחשוב לחדד בהקשר של ניסוח ההוכחה המלאה.

תשוו את הפסוקים שרשמנו כאן בהוכחה, עם אלו שתכננו לרשום כחלק מתכנית המשחק. אם אתם קצת נאבדים בתוך התכנית הרצינית הזו, אני מפנק אתכם בלינקים למה שניסחנו אז. פשוט ללחוץ ולהשתגר. פסוק 1 פסוק 2. פסוק 1 נראה בדיוק אותו דבר, אבל בפסוק 2 ציינו רק חלק מהתנאים (רק את אי-השיוויון). הסיבה לכך היא שסוף המשפט הקודם (המסקנה של הפסוק הראשון) זה בדיוק חלק מהתנאים של הפסוק השני. לכן מה שנהוג לעשות, במקום לכתוב פעמיים את אותו הדבר, זה פשוט לדלג על לציין את התנאים שוב.

“חיבור” המסקנה-תנאי הזה לא קיים רק בניסוח, השורש שלו הוא בשכבת הלוגיקה. מסקנה של משפט מסויים הופכת להיות נתון של משפט אחר. בכך ההוכחה הופכת להיות סוג של “שרשרת לוגית” של משפטים וטענות שגוררים אחד את השנייה. אוסיף סייג אחד. לפעמים כן נהוג “לחזור” על התנאים עוד פעם. זה קורה כאשר בין מסקנה של משפט אחד, שאמורה לשמש כנתון למשפט אחר, מכניסים עוד הרבה טקסט מסיבות כאלו ואחרות. זה יכול לקרות למשל כשהנתונים של משפט מסויים נובעים משני משפטים שצריך להפעיל קודם.

ציטוט משפטים

לסיום, זה זמן טוב לדבר על “ציטוט משפטים”. הרבה סטודנטים היו אומרים לי “אמיר, אמרו לנו בהרצאה/תרגול/ארוחת צהריים שכל פעם שרוצים להשתמש במשפט צריך לצטט אותו”. בואו נחשוב מה זה אומר שצריך לעשות. האם זה אומר שאתם צריכים כל פעם שאתם משתמשים במשפט להעתיק את הניסוח שלו ממחשבתכם לדף? מה, הבוחן לא מכיר את המשפט? ברור שהוא מכיר, ולכן גם אין צורך פשוט סתם לצטט משפטים.

מה שכן חייבים לעשות, זה להסביר מהי העילה שלכם להשתמש במשפט. שימו לב מה מתכון המשפטים מנחה אותו לכתוב בניסוח ההוכחה:

האובייקט המתמטי שלנו מקיים את התנאים. לכן לפי שם המשפט מתקיים מסקנות.

זכרו שבמקום התנאים אנחנו באמת נכתוב שתנאי המשפט מתקיימים למקרה שלנו. למשל בדוגמה הקודמת, כשהשתמשנו בחשבון גבולות, רשמנו בהוכחה:

מתקיים כי $\lim_{n\to\infty}b_{n}=0$ וכן $\lim_{n\to\infty}L=L$.

זוהי בדיוק העילה להשתמש במשפט. שימו שזה נראה כמו התנאים למשפט (כאילו היינו מצטטים אותו), אך במקום לכתוב על סתם שתי סדרות שמתכנסות לגבולות כללים, יישמנו את הסיפור על הסדרות שלנו. זה מה שצריך משפט “חשבון גבולות”, שהסדרות בנפרד יתכנסו לגבולות כלשהם. אחר כך, טענו שלפי משפט חשבון גבולות, מתקיים $$\lim_{n\to\infty}b_{n}+L=\lim_{n\to\infty}b_{n}+\lim_{n\to\infty}L=L$$ (טענו גם על עוד גבול, אבל זה סיפור אחר.) זה בדיוק נראה כמו המסקנה של המשפט (כאילו היינו מצטטים אותו), רק שגם כאן, סיפרנו את הסיפור על הסדרות שלנו, ולא סתם סדרות כלליות.

אז בדיעבד, אם תסתכלו על מה שרשמנו בהוכחה, זה די נראה “שציטטנו” את משפט חשבון גבולות. ההבדל הוא, שלא סתם כתבנו מה זה משפט חשבון גבולות, אלא ממש ישמנו אותו על המקרה שלנו. זוהי הכוונה בלצטט משפטים.

המשיכו לחלק הבא

---

1. זו הערה שרבים נוהגים לומר מבלי להסביר מה הכוונה. הכוונה היא שקחו מחשבון עכשיו, תציבו $n=10,000$ (או מספר גדול כרצונכם עם שלל אפסים) ותחשבו כמה יוצא $2n^{2}$ וכמה יוצא $3n$ (החבר שלו במונה). ככל שהמספרים גדלים $3n$ ממש קטן בהשוואה ל-$2n^{2}$. ↩

2. לסקרנים: משפט הפונקציות הסתומות במקצועות החדו”א 2 למינהם ↩

3. דרך נוספת היא דווקא להתחיל מהסוף. לחשוב לעצמנו “לאיזה משפט יש מסקנה שהיא בדיוק מה שצריך להוכיח?”. ↩

4. למעשה ניתן להכליל את המשפט כך שאי-השיוויון יתקיים החל מאינדקס מסויים ולא בהכרח לכל $n$. ↩