“הבנת מה זה הרציפות ממש הזה שהיא דיברה עליה עכשיו שעה?”

אמיר לפז אחרי התרגול על רציפות במ”ש, ינואר 2017

סיפור אמיתי בהחלט. כנראה שעד כדי כך הכחשתי את הנושא של רציפות במידה שווה אחרי ההרצאה, שפשוט לא הצלחתי לזהות אותו בתרגול.

רציפות במידה שווה היא אחד הנושאים המטלטלים בקורס. עד שאנחנו חושבים שהבנו בערך מה זה רציפות, מנחיתים עלינו את ההגדרה הלא ברורה של רציפות במידה שווה. מה כל כך רציף פה שלא היה קודם? מה פה בדיוק במידה שווה?

יש מספר סיבות לכתיבה הסולחה הזו. ראשית, מדובר בחומר קשה להבנה, במיוחד כי הוא נראה מאוד דומה להגדרות קודמות של רציפות. שנית, הוא מאוד פופולרי במבחנים. קשה מאוד למצוא מבחן בלי שאלה על רציפות במידה שווה. יתר על כן, בהמשך הקורס, או בקורסי המשך, לומדים על בת-דודה של רציפות במידה שווה – התכנסות במידה שווה. על אף שרציפות במידה שווה נראת קצת חסרת תועלת לחיים, בת-דודתה היא מאוד חשובה ואפילו מבלבלת יותר. הבנה טובה של רציפות במידה שווה, מקלה מאוד על הבנת התכנסות במידה שווה.

בתחילת הפרק נבין מה לא שיוויוני בהגדרת הרציפות, וליתר דיוק בהגדרת הרציפות בקטע. הוספתי מספר גרפים אינטראקטיביים אז תתכוננו לחוויה שבע-מימדית (לפחות). לאחר מכן נדון בהגדרת הרציפות במידה שווה, ונבין (וגם נראה בעוד גרף משגע) מדוע היא כן שיוויונית. לסיכום נדון בשלל משפטים הקשורים בנושא רציפות במידה שווה.

הפליית הרציפות

אז אם אתם כאן איתי ללמוד על המשמעות האמיתית של רציפות במידה שווה, כבר נתקלתם ברציפות בעבר. שניזכר בהגדרה?

רציפות בנקודה

פונקציה $f$ רציפה בנקודה $y$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $x$ המקיים $\left|x-y\right|<\delta$ מתקיים $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon$

אינטואיטיבית זה אומר שככל $x$ מתקרב ל-$y$, $f\left(x\right)$ מתקרב ל-$f\left(y\right)$. שימו לב שההגדרה הזו היא נקודתית. כלומר המחזה המרהיב של התקרבות $f\left(x\right)$ ל-$f\left(y\right)$ כאשר $x$ מתקרב ל-$y$, לאו דווקא מתקיים כאשר $x$ מתקרב ל-$y+1$. דוגמה לכך היא למשל הפונקציה $f(x)=x\cdot D\left(x\right)$ כאשר $D\left(x\right)$ היא פונקציית דיריכלה. זו פונקציה שרציפה בנקודה $y=0$ אך לא רציפה באף נקודה אחרת.

בואו נדבר עכשיו על רציפות בקטע. לצורך כל הפרק, אנחנו נתמקד בקטעים פתוחים $\left(a,b\right)$ אלא אם כן נציין אחרת במפורש. קטעים סגורים מוסיפים סיבוכים של רציפויות חד-צדדיות שלא באמת תורמים לדיון שלנו. ההגדרה (המופנמת) של רציפות בקטע היא:

רציפות בקטע (הגדרת מופנמת)

פונקציה $f$ רציפה בקטע $\left(a,b\right)$ אם לכל נקודה בקטע $y\in\left(a,b\right)$, $f$ רציפה בנקודה $y$.

למה מופנמת? כי היא מסתמכת על הגדרת הרציפות הנקודתית. אבל לצורך ההבנה שלנו, כדאי שנסתכל על הגרסה הלא מופנמת – הגרסה המפורטת. כדי לקבל את הגרסה המפורטת, נקח את ההגדרה המופנמת ו”נציב” לתוכה את ההגדרה של רציפות בנקודה. כלומר איפה שרשום בהגדרה המופנמת “$f$ רציפה בנקודה $y$”, נרשום במקום ממש את הגדרת הרציפות בנקודה. נקבל את ההגדרה המפורטת

רציפות בקטע (הגדרה מפורטת)

פונקציה $f$ רציפה בקטע $\left(a,b\right)$ אם לכל נקודה בקטע $y\in\left(a,b\right)$ ולכל $\varepsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $x$ המקיים $\left|x-y\right|<\delta$ מתקיים $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon$.

אינטואיטיבית, מתואר לנו כאן מחזה דומה לרציפות בנקודה, רק שהוא קורה בכל נקודה בקטע $\left(a,b\right)$. אני רוצה קצת להעשיר את הדיון שלנו לגבי מה זו רציפות. מקודם, כשנתתי את ההסבר האינטואיטיבי, השתמשתי במונחים כמו “$x$ מתקרב ל-$y$” ו-”$f\left(x\right)$ מתקרב ל-$f\left(y\right)$”. אלו מונחים מאוד יפים, אבל מאוד לא מציאותיים. $x$ או ידידו הקרוב $f\left(x\right)$ לא הולכים ולא מתקרבים לשום מקום, אלו סתם מספרים. פרקטית, ההגדרה מתארת לנו סיפור קצת שונה. להלן הגדרת הרציפות בקטע, בצורה קצת יותר סיפורית:

מתחילים בלקחת איזו נקודה בקטע $y\in\left(a,b\right)$ שיכולה להיות כל נקודה, בנוסף לוקחים באופן בלתי תלוי מספר חיובי $\varepsilon$. עכשיו, אם $f$ באמת רציפה בקטע $\left(a,b\right)$, אז לא משנה איזו נקודה $y$ לקחנו בקטע, ולא משנה איזה $\varepsilon$ חיובי בחרנו, קיימת לה איזו $\delta>0$ קסומה, או במילים אחרות, סביבה של הנקודה $y$, כך שלכל $x$ בסביבת הנקודה הזו, המרחק בין $f\left(x\right)$ ל-$f\left(y\right)$ לא יהיה גדול יותר מ-$\varepsilon$.

בואו נראה דוגמה. נסתכל על הפונקציה $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ בקטע $\left(0,1\right)$. $f$ אלמנטרית ומוגדרת בקטע, ולכן לפי משפט רציפה בו.

בחוויה האינטראקטיבית הזו אתם יכולים לשלוט בשני פרמטרים, $\varepsilon$ ו-$y$. ברגע שאתם בוחרים אותם, סביבת $\delta$ של $y$ מחושבת אוטומטית ומסומנת בצבע צהוב. בצבע כחול, מסומנת סביבת $\varepsilon$ של $f\left(y\right)$. תוכלו להיווכח, שלכל צירוף של $\varepsilon$ ו-$y$, אם מסתכלים על ערכי $x$ בסביבות ה-$\delta$ של $y$, אז ערכי ה-$f\left(x\right)$ נמצאים בתוך סביבות האפסילון של $f\left(y\right)$.

השתכנעתם? נהדר¹. עכשיו בוחן פתע: תשאירו את ה-$\varepsilon$ וה-$y$ כמו שהם ותחשבו על השאלה הבאה. אם נקטין עכשיו את $\varepsilon$ (ונשאיר את $y$ כמו שהוא), מה יקרה לסביבת ה-$\delta$? בדקו אם צדקתם.

ובכן, גם סביבת $\delta$ גם קטנה. וזה גם הגיוני אינטואיטיבית. הקטנת ה-$\varepsilon$ היא דרישה סלקטיבית יותר, ולכן היא תתאפשר רק עם סביבת $\delta$ סלקטיבית יותר (קטנה יותר). זה הגיוני גם בלי קשר לפונקציה שבחרנו ואנחנו נראה תופעה דומה עם כל פונקציה רציפה.

בוחן פתע 2: תשאירו את ה-$\varepsilon$ וה-$y$ כמו שהם ותחשבו על השאלה הבאה. אם עכשיו נקטין את $y$ (ונשאיר את $\varepsilon$ כמו שהוא), מה יקרה לסביבת ה-$\delta$ עכשיו? בדקו אם צדקתם. ומה יקרה אם נגדיל את $y$?

עכשיו קורה משהו מעניין. כשהקטנו את $y$, סביבת ה-$\delta$ התהדקה גם היא, בלי קשר ל-$\varepsilon$! וכשהגדלנו את $y$ סביבת ה-$\delta$ דווקא התרחבה, עם אותה דרישה סלקטיבית של $\varepsilon$. זה כבר לא משהו שנשמע שיהיה הגיוני לכל פונקציה. התופעה הזו נשמעת הגיונית בגלל משהו שיש (או אין) לפונקציה הזו בקטע הזה. עבור ערכי $y$ קטנים, הפונקציה מאוד תלולה ומשתנה מאוד מהר, ולכן הזזה קטנה בערך ה-$x$ תגרור שינוי גדול ב-$f\left(x\right)$. לעומת זאת, עבור ערכי $y$ גדולים, הפונקציה מאוד שטוחה ומשתנה לאט, ולכן ניתן להזיז את $x$ בחופשיות רבה יותר מבלי לדאוג ש-$f\left(x\right)$ תצא משרוול ה-$\varepsilon$.

גבירותיי ורבותיי, אנחנו מתבוננים בחוסר צדק! או לפחות בחוסר שיוויון. על אף שדרשנו את אותה דרישת $\varepsilon$ המקורית, באזורים שונים של הפונקציה (ערכי $y$ שונים) הגדרת הרציפות פעלה באופן שונה. עבור ערכי $y$ קרובים ל-0 היא החזירה לנו ערכי $\delta$ מאוד קטנים והדוקים, ועבור ערכי $y$ גדולים יותר קיבלנו ערכי $\delta$ רחבים וגדולים.

כמו שאמרנו, זה מאוד הגיוני שה-$\delta$ תושפע מהערך של $\varepsilon$, אך האם היא בהכרח תושפע מערך ה-$y$? הנקודה בה אנחנו בודקים רציפות? אם הבנתם מה הוא חוסר השיוויון שנוכחנו לו, אתם מוכנים לשאול את השאלה המתבקשת. האם קיימות פונקציות אשר מקיימות את הגדרת רציפות בקטע, אך ערכי ה-$\delta$ שלהן תלויות רק ב-$\varepsilon$ ולא תלויות ב-$y$?

שיוויון לכולם!

החלק הקודם השאיר אותנו במתח לגבי קיומן של פונקציות מסויימות. פונקציות עבורן לכל $\varepsilon>0$ יש איזו $\delta>0$ אוניברסלית, כזו שלא משנה איפה נבחר את $y$, ה-$\delta$ הזו תקיים את הגדרת הרציפות ב-$y$. ובכן אתם וודאי מבינים שקיימות כאלו פונקציות, והן זכו לתואר הכבוד רציפות במידה שווה.

כדאי גם להזכיר את המונח הלועזי לרציפות במידה שווה – Uniform Continuity. אם הייתם נדרשים לתרגם את המונח לעברית, תחת ההנחה ש-Continuity זה רציפות כמובן, כיצד הייתם עושים זאת? אני הייתי אומר “רציפות אחידה”. זה די הגיוני בהתחשב בתכונה שאנו מחפשים. זו פונקציה שהיא רציפה בסוף היום, אך באותו האופן בכל המקומות, באופן אחיד.

לפני שנדוש בהגדרה של רציפות במידה שווה, בואו נראה פונקציה כזו. בחרתי בפונקציה $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ בקטע $\left(0,2\pi\right)$. ישנן מספר דרכים להראות שהיא רציפה במידה שווה בקטע הזה, עליהן נדון בהמשך.

ברשותכם אותם כלים כמו מקודם, ה-$\varepsilon$ וה-$y$. עכשיו שימו לב כי ה-$\delta$ אינה תלויה בערך ה-$y$, וכי תנאי ה-$\varepsilon$ עדיין מתקיים! לא משנה באיזה צירוף של $\varepsilon$ ו-$y$ תבחרו – אם $x$ בסביבת $\delta$ של $y$, אז $f\left(x\right)$ בסביבת $\varepsilon$ של $f\left(y\right)$.

אני רוצה לכתוב עכשיו את ההגדרה המתבקשת לרציפות במידה שווה, כזאת שהגיוני לנסח על סמך התכונה שאנו מתארים לעיל. אציין כבר עכשיו שזו אינה ההגדרה הקלאסית, ונדון בהגדרה זאת בקרוב.

רציפות במידה שווה (ההגדרה המתבקשת)

פונקציה $f$ רציפה במידה שווה בקטע $\left(a,b\right)$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $y\in\left(a,b\right)$ ולכל $x$ המקיים $\left|x-y\right|<\delta$ מתקיים $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon$.

ויזואלית, כל ההבדל זה איפה הכנסנו את הביטוי “לכל $y\in\left(a,b\right)$”, אך זהו הבדל גדול מבחינה לוגית. במצב הזה “המכונה” של הרציפות במידה שווה מקבלת $\varepsilon>0$ וישר מחזירה $\delta>0$, מבלי לדעת איפה תהיה הנקודה $y$. תשוו את זה עם הגדרת הרציפות מהחלק הקודם: קודם בוחרים $\varepsilon>0$ ו-$y$ בקטע, ורק אז מקבלים $\delta$ מתאימה.

זו נקודה חשובה באופן כללי. המהות של ההגדרה נמצאת לא רק באי-שיוויונים ובאותיות, אלא גם בכמתים ובסדר שלהם. על פניו גם בהגדרת הרציפות בקטע וגם בהגדרת הרציפות במידה שווה מופיעים אי-השיוויונים $\left|x-y\right|<\delta$ ו-$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon$, אך כמו שכבר הבנו, מדובר בשני סיפורים שונים. אפשר להיסחף אפילו יותר. אי-השיוויון $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon$ מופיע בעוד הגדרה – הגדרת הגבול לפי קושי. המסקנה היא שבהגדרה יש יותר מביטויים אלגבריים, וחשוב לשים לב גם לסדר הכמתים ומיקומם.

עוד נקודה שחשוב לציין היא שבניגוד לרציפות שם יש הגדרה נקודתית והגדרה לקטע, אין משמעות לרציפות במידה שווה בנקודה מסויימת. זאת מפני ש”המידה השווה” היא בין הנקודות בקטע, ואין משמעות לשיוויון בין חברי קבוצה עם חבר אחד.

ההגדרה הקלאסית של רציפות במידה שווה מנוסחת אחרת, אך כמובן בעלת אותה משמעות. ספציפית, החלק “לכל $y\in\left(a,b\right)$ ולכל $x$ המקיים $\left|x-y\right|<\delta$” מוחלף ב-”לכל $x,y\in\left(a,b\right)$ המקיימים $\left|x-y\right|<\delta$”. ההבדל הוא שעתה לא נותנים משמעות מיוחדת לנקודה $y$ (כמו שיש לה בהגדרת הרציפות בקטע), כי עכשיו אין לה באמת משמעות מיוחדת. $y$ זו נקודה בקטע ו-$x$ זו נקודה בקטע, וה-$\delta$ לא תלויה באיפה $x$ או $y$ יהיו, אלא רק שיהיו מספיק קרובות אחת לשניה. נסכם את החלק הזה בהגדרה הקלאסית:

רציפות במידה שווה (ההגדרה הקלאסית)

פונקציה $f$ רציפה במידה שווה בקטע $\left(a,b\right)$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $x,y\in\left(a,b\right)$ המקיימים $\left|x-y\right|<\delta$ מתקיים $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon$.

ההגדרה כמובן קיימת גם לקטעים סגורים או חצי סגורים בדיוק באותו האופן. בחלק השלישי והאחרון נדון במספר תוצאות חשובות הקשורות ברציפות במידה שווה.

משפטי רציפות במידה שווה

אני מקווה שבשלב הזה אתם מבינים את המהות של רציפות במידה שווה. אלו בסך הכל פונקציות שרציפות בקטעים, אבל עם תנאי רציפות חזק יותר ואחיד יותר. בחלק הזה נדבר על ההשלכות של רציפות במידה שווה – כלומר על המשפטים שקשורים ברציפות במידה שווה. אנחנו נדון בתכונות שנגררות מרציפות במידה שווה, תכונות שגוררות רציפות במידה שווה, וגם תכונות ששקולות לרציפות במידה שווה. המשפטים והתכונות שנראה הם חשובים גם על מנת להוכיח שפונקציות הן רציפות במידה שווה או לא רציפות במידה שווה.

שימו לב כי חלק מהמשפטים שנדון בהם כנראה נלמדו בהרצאות ובתרגולים, ולכן תוכלו להשתמש בהם בשאלות מבחן (אם כמובן לא נדרשתם להוכיח אותם בשאלה). חלק אחר מן המשפטים כנראה לא נלמדו ולא תוכלו להשתמש בהם במבחן מבלי להוכיח אותם. כמו תמיד, זו אחריותכם הבלעדית לדעת מה למדתם ותוכלו להשתמש בו ומה לא. הסיבה ששווה לכם להכיר כמה שיותר תכונות ומשפטים, היא שבעיקר מה שלא למדתם בהרצאה יכול להופיע בתרגילי הבית ובמבחנים שלכם.

ולכן, אני ממליץ לכם ללמוד את ההוכחות של כל המשפטים שנדון בהם. לרובם רשמתי הכוונות להוכחה ואת ההוכחות המלאות תוכלו למצוא בסיכום הקורס ובספר של רוס² בעמודים 151-139.

תכונות של פונקציות רציפות במידה שווה

משפט ראשון וטריוואלי הוא

רציפות במ”ש גורר רציפות

אם $f$ רציפה במ”ש בקטע $I$ אזי היא גם רציפה בקטע $I$.

המשפט נובע מהעובדה שעמידה בתנאי רציפות במידה שווה כוללת את העמידה בתנאים של רציפות בקטע. כמובן שזוהי גרירה חד-כיוונית.

תכונה חשובה נוספת היא הקשר בין רציפות במידה שווה לסדרות קושי, שמנוסחת במשפט הבא.

רציפות במ”ש וסדרות קושי

אם $f$ רציפה במ”ש בקטע $I$ ו-$a_{n}$ היא סדרת קושי שכל איבריה נמצאים ב-$I$ אזי גם $f\left(a_{n}\right)$ היא סדרת קושי.

הוכחת המשפט נעשת לפי הגדרה. המשפט הזה מאוד שימושי על מנת לקבוע האם פונקציה היא לא רציפה במידה שווה. קחו לדוגמה את הפונקציה $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ מתחילת הפרק. אם $f$ הייתה רציפה במידה שווה ב-$\left(0,1\right)$, אז כל סדרת קושי $a_{n}$ כלשהי בקטע הזה, גם $f\left(a_{n}\right)=\frac{1}{a_{n}}$ הייתה סדרה קושי. אך קחו לדוגמה את הסדרה $a_{n}=\frac{1}{n}$, איבריה חיים ב-$\left(0,1\right)$, פרט לאיבר הראשון, והיא מתכנסת ולכן סדרת קושי. יחד עם זאת, $f\left(a_{n}\right)=n$ היא סדרה מתבדרת ולכן אינה סדרת קושי. אי לכך $f$ לא רציפה במידה שווה בקטע $\left(0,1\right)$.

אם כבר מדברים על סדרות, שווה לדעת שיש הגדרת רציפות במידה שווה בלשון סדרות.

הגדרת רציפות במידה שווה בלשון סדרות

$f$ רציפה במידה שווה בקטע $I$ אם ורק אם לכל שתי סדרות $x_{n},y_{n}\in I$ המקיימות $\left|x_{n}-y_{n}\right|\to0$ מתקיים $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\to0$.

ההגדרה בלשון סדרות זכתה גם לשם “רציפות קושי”. את הכיוון הראשון (מרציפות במ”ש לסדרות) מוכיחים לפי הגדרת הגבול על $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\to0$ ושימוש בהגדרת רציפות במ”ש קלאסית. את הכיוון השני (מסדרות להגדרה קלאסית) מוכחים באופן דומה להוכחת משפט היינה: מניחים בשלילה כי $f$ אינה רציפה במידה שווה ומשתמשים בהגדרת אי-רציפות במידה שווה על מנת להראות שקיימות שתי סדרות $x_{n},y_{n}\in I$ המקיימות $\left|x_{n}-y_{n}\right|\to0$ אך לא מקיימות $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\to0$. ספציפית מראים (בעזרת הגדרת אי-רציפות במידה שווה) שקיים $\varepsilon>0$ כך שלכל $n\in\mathbb{N}$ מתקיים $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\ge\varepsilon$.

הכיוון השני של המשפט מתווה לנו תבנית להוכחה שפונקציה אינה רציפה במידה שווה. שימו לב שהגדרת אי-רציפות במידה שווה תהיה: קיים $\varepsilon>0$ כך שלכל $\delta>0$ קיימים $x,y\in I$ המקיימים $\left|x-y\right|<\delta$ אך $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\ge\varepsilon$. על מנת להראות שלכל $\delta>0$ קיימים $x,y\in I$, אנחנו יכולים להעזר בסדרות. נמצא שתי סדרות $x_{n},y_{n}\in I$ שהמרחק בינהן שואף ל-0 , ולכן $\left|x_{n}-y_{n}\right|\to0$. (זה יכול לקרות אם הן שואפות לאותה נקודה או שתיהן שואפות לאינסוף אך עדיין מתקרבות אחת לשניה.) לפיכך לפי הגדרת הגבול לכל $\delta>0$ קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $\left|x_{n}-y_{n}\right|<\delta$. במילים אחרות, לכל $\delta>0$ אנחנו יכולים לספק שתי נקודות כאלו $x_{n},y_{n}\in I$ (אם $n>N$ כלשהו) שמקיימות את תנאי ה-$\delta$. אם נבחר שהסדרות $x_{n}$ ו-$y_{n}$ ישאפו לנקודה בעייתית בפונקציה הלא הרציפה במידה שווה שלנו (כמו למשל ראשית הצירים עבור $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$), אז יהיה קל להראות שהגודל $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\ge\varepsilon$ עבור $\varepsilon>0$ כלשהו.

דוגמה

למשל נניח שאנחנו רוצים להוכיח ש-$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ לא רציפה במידה שווה ב-$\left(0,1\right)$. נקח את הסדרות $$x_{n}=\frac{1}{n},\quad y_{n}=\frac{1}{2n}$$

שתיהן (החל מ-$n\ge2$) חיות בקטע $\left(0,1\right)$. מתקיים לפי חשבון גבולות כי $$\lim_{n\to\infty}\left(x_{n}-y_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0$$ לכן אם נבחר $0<\varepsilon=1$ אזי לכל $\delta>0$, לפי הגדרת הגבול של $\left(x_{n}-y_{n}\right)$ קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $\left|x_{n}-y_{n}\right|<\delta$. נבחר כזה $n_{0}>N$. קיבלנו שני מספרים $x_{n_{0}},y_{n_{0}}\in\left(0,1\right)$ המקיימים $\left|x_{n_{0}}-y_{n_{0}}\right|<\delta$ אך מתקיים $$\begin{aligned}\left|f\left(x_{n_{0}}\right)-f\left(y_{n_{0}}\right)\right| & =\left|\frac{1}{x_{n_{0}}}-\frac{1}{y_{n_{0}}}\right|\\ & =\left|n_{0}-2n_{0}\right|=n_{0}>N\ge1=\varepsilon \end{aligned}$$ הראנו כי קיים $\varepsilon>0$ כך שלכל $\delta>0$ קיימים $x,y\in I$ המקיימים $\left|x-y\right|<\delta$ אך $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\ge\varepsilon$ ולכן $f$ לא רציפה במידה שווה.

נקודה חשובה לשימוש בשיטה זו היא בחירת הסדרות. הסדרות, כפי שאמרנו, צריכות לשאוף לנקודה או אזור בעייתי בפונקציה, וכמו כן שמרחקן אחת מהשנייה ישאף ל-0. אך דבר חשוב נוסף שכדאי שיהיה לסדרות זו צורה “שמתלבשת” יפה לתוך הפונקציה. כלומר שהביטויים $f\left(x_{n}\right),f\left(y_{n}\right)$ יהיו פשוטים. ישנן הרבה סדרות ששואפות לאפס, אך מה שנחמד בסדרות $x_{n},y_{n}$ שבחרנו זה שהן נותנו ביטויים פשוטים ל-$f\left(x_{n}\right),f\left(y_{n}\right)$. אם למשל היינו רוצים להוכיח בשיטה זו כי הפונקציה $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ לא רציפה במידה שווה בקטע $\left(0,1\right)$, היה שווה לקחת סדרות כמו $x_{n}=\frac{1}{2\pi n}$ ו-$y_{n}=\frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}}$ (חשבו למה).

חסימות

כשהכרנו את הפונקציות הרציפות, הייתה תחושה באוויר של רוגע ונחת. הנה חבורת פונקציות שאפשר לסמוך עליהן שלא יתפרעו. אך במהרה גילינו שלא הכל דבש וליקוקים בחיים. משפטים מפוצצים כמו משפטי ויירשטראס הם נכונים רק לקטעים סגורים, בעוד שבקטעים פתוחים שורר המערב הפרוע. פונקציות כמו $\frac{1}{x}$ ו-$\tan\left(x\right)$ רציפות בקטעים $\left(0,1\right)$ ו-$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ בהתאמה, אך אף אחת מהן לא חסומה שם.

רציפות במידה שווה מביאה איתה את השלווה אליה היינו צמאים, עם משפט ויירשטראס משודרג.

משפט ויירשטראס לרציפות במידה שווה

אם $f$ רציפה במידה שווה ב-$\left(a,b\right)$ אז $f$ חסומה ב-$\left(a,b\right)$

איזה משפט. ההוכחה שלו, מן הסתם, דומה עד מאוד להוכחה של משפט ויירשטראס המקורי. מניחים בשלילה ש-$f$ נניח לא חסומה מלמעלה. בונים סדרה $x_{n}\in\left(a,b\right)$ כך ש-$f\left(x_{n}\right)$ שואפת לאינסוף. לאחר מכן מוצאים ל-$x_{n}$ תת-סדרה מתכנסת עם בולצאנו-ויירשטראס $x_{n_{k}}$. פה מגיע החלק המעניין. במשפט ויירשטראס המקורי הנחנו כי הגבול של תת-סדרה זו שייך לקטע בו הפונקציה רציפה. אך אז הקטע היה סגור. במקרה שלנו על אף ש-$x_{n_{k}}\in\left(a,b\right)$, אין הבטחה כי הגבול לא יהיה שייך לקצוות הקטע, כלומר שהגבול יהיה $a$ או $b$ ממש. פה ההוכחה תופסת כיוון שונה ונעזרת בתכונה שכבר דיברנו עליה כאן. $x_{n_{k}}$ מתכנסת, ולכן היא סדרת קושי. לפי המשפט שציינו קודם, $f\left(x_{n_{k}}\right)$ גם היא סדרת קושי ולכן מתכנסת. מכאן ההוכחה ממשיכה כמו משפט ויירשטראס הרגיל שכן $f\left(x_{n_{k}}\right)$ צריכה גם לשאוף לאינסוף כתת-סדרה של $f\left(x_{n}\right)$ וזו סתירה.

הערה חשובה: אין משפט שאומר שאם $f$ רציפה במידה שווה ב-$\left(a,b\right)$ אז היא מקבלת בו מקסימום ומינמום. אתם מוזמנים עכשיו לחשוב על דוגמה לפונקציה שתסתור אמרה כזו. (רמז: זו לא פונקציה מסובכת, פשוט הקטע הפתוח מונע ממנה להגיע למקסימום ולמינימום שלה.)

הוכחת רציפות במידה שווה

כשזה מגיע להוכחה וזיהוי של פונקציות רציפות במידה שווה, עלינו להיות זהירים. המשפטים שאציג עתה הם חד-כיווניים ולכן הם יכולים לעזור לנו לזהות חלק מהפונקציות הרציפות במידה שווה. בסוף היום, הניסיון הוא הכלי הטוב ביותר לזיהוי פונקציות רציפות במידה שווה, וככל שתראו יותר כאלו – מה טוב.

המשפט הראשון הקשור בזיהוי והוכחת רציפות במידה שווה ידוע גם כמשפט קנטור-היינה.

משפט קנטור-היינה

אם $f$ רציפה בקטע סגור $\left[a,b\right]$ אזי $f$ רציפה במידה שווה ב-$\left[a,b\right]$.

משפט פשוט בתנאים ובמסקנות. ההוכחה שלו מתבססת על הנחת שלילה שהמסקנה לא מתקיימת, וסתירה לעובדה ש-$f$ רציפה ב-$\left[a,b\right]$ על ידי בניית סדרות מתאימות.

תכונה חשובה בקשר לרציפות במידה שווה היא תכונה חיבור הקטעים.

חיבור הקטעים

אם $f$ רציפה במ”ש בקטע $\left[a,b\right]$ ובקטע $\left[b,c\right]$ אז $f$ רציפה במידה שווה בקטע $\left[a,c\right]$. משפט זה נכון גם אם $a=-\infty$ ו-$c=\infty$.

במבט חטוף נראה שמיותר ממש לציין את התכונה הזו. עבור רציפות רגילה זוהי תכונה טריוואלית, שכן הגדרת רציפות בקטע מוגדרת לפי רציפות בכל נקודה בקטע. אבל זכרו שרציפות במידה שווה דורשת יותר מרציפות בכל נקודה, היא דורשת שלכל $\varepsilon>0$ תהיה $\delta>0$ אוניברסילית שתתאים לכל מקום בקטע. התנאים של הטענה הזו מבטיחים לנו שלכל $\varepsilon>0$ תהיה $\delta_{1}$ בקטע אחד ו-$\delta_{2}$ בקטע השני, אך שום דבר לא מבטיח שזו אותה ה-$\delta$. חמור מכך, הדלתאות האלו תקפות רק אם שתי הנקודות $x,y$ שייכות שתיהן לאותו הקטע בנוסף לכך שמרחקן קטן מה-$\delta$ המתאימה. רציפות במידה שווה על הקטע הכולל צריכה להיות תקפה גם במקרה ש-$x$ שייך למשל ל-$\left[a,b\right]$ ו-$y$ למשל שייך ל-$\left[b,c\right]$ (ואפילו גדול ממש מ-$b$).

בקיצור זה אינו סיפור פשוט. במקרה של שני קטעים סגורים כפי שרשמתי לעיל, אפשר לסגור את ההוכחה הזו בקלות כי $f$ תהיה רציפה בקטע $\left[a,c\right]$ ומשם אפשר להפעיל את משפט קנטור-היינה. אך מה אם אלו קטעים פתוחים, או בכלל קרנות? משפט קנטור-היינה לא עוזר כאן, ויש להשתמש בהגדרה ובמעט תחבולות אלגבריות על מנת להוכיח את נכונות הטענה.

המשפט השני הקשור בזיהוי והוכחת רציפות במידה שווה דורש כי הפונקציה תהיה גזירה בקטע המבוקש ודורש גם תנאי על הנגזרת.

משפט הנגזרת החסומה

אם $f$ גזירה בקטע $I$ ו-$f'$ חסומה בקטע $I$ אזי $f$ רציפה במידה שווה ב-$I$.

נשים לב ראשית כי אם $I$ הוא קטע סגור אז המשפט הזה לא מחדש שום דבר מעבר למשפט קנטור-היינה, שכן אם $f$ גזירה בקטע אז היא גם רציפה בו. גדולת המשפט היא כמובן עבור כל קטע שהוא לא סגור, בין אם הוא פתוח או אפילו אינסופי.

הוכחת המשפט בנויה לפי הגדרת רציפות במידה שווה ונעזרת במשפט לגרנז’ על מנת לקשר בין הנגזרת החסומה להפרש שרוצים לחסום $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|$.

יש שנוהגים לקשר את תכונה הרציפות במידה שווה עם “תלילות חסומה” בשל משפט זה. זו היא טעות מכלילה. ישנן מספר לא מבוטל של פונקציות רציפות במידה שווה עם נגזרות לא חסומות. בואו נכיר שתיים מהן.

דוגמה ראשונה לכך היא הפונקציה $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$. אם אין היכרות אישית בינכם לבין הפונקציה, הכנסו עכשיו לדסמוס ועשו את ההיכרות. מה קורה בראשית הצירים? רואים את השיפוע? השיפוע הוא אינסוף ידידים וידידות. המשיק בכיוון ציר ה-$y$. זה גם לא כל כך מפתיע שכן הביטוי לנגזרת (בכל נקודה שאינה בראשית) הוא $f'\left(x\right)=\frac{1}{3x^{2/3}}$, ונגזרת זו אכן שואפת לאינסוף בראשית. ובכן, הפונקציה הזו גבירותיי ורבותיי לא רק שרציפה במידה שווה בסביבת הראשית, אלא רציפה במידה שווה בכל $\mathbb{R}$.

כיצד מוכיחים זאת? בשני חלקים. ראשית לוקחים למשל קטע המכיל את הראשית, נניח $\left[-1,1\right]$. הפונקציה אלמנטרית ומוגדרת שם ולכן רציפה בו. לפיכך לפי משפט קנטור-היינה רציפה בו במידה שווה. עבור הקרן $[1,\infty)$ אפשר להראות כי $f'$ חסומה בו, ולכן $f$ רציפה במידה שווה גם ב-$\left[1,\infty\right]$ לפי משפט הנגזרת החסומה. באופן דומה מראים כי $f$ רציפה במידה שווה ב-$(-\infty,-1]$. לבסוף משתמשים בתכונת חיבור הקטעים בה דנו לעיל על מנת להראות ש-$f$ רציפה במידה שווה בכל $\mathbb{R}$.

דוגמה שנייה ואף מטרידה עוד יותר היא הפונקציה $$g\left(x\right)=\begin{cases} x^{\frac{4}{3}}\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\ne0\\ 0 & x=0 \end{cases}$$

שרטטו אותה שנייה בדסמוס (אין צורך לכתוב בדסמוס את הראשית) ותעשו זום. חוויה על-חושית. גם הפונקציה הזו רציפה במידה שווה בכל $\mathbb{R}$, ולנגזרת שלה אין בכלל גבול בראשית. אבל בשונה מידידתה $f\left(x\right)$ אותה בחנו קודם, $g\left(x\right)$ גם גזירה בכל $\mathbb{R}$. הדרך להוכיח את הרציפות במידה שווה שלה זהה לזו שציינו עבור $f$.

רציפות במידה שווה והרחבות רציפות

נושא אחרון שכדאי להכיר (שכן הופיע כבר במבחני עבר בעילום שם) הוא הקשר בין הרחבות רציפות של פונקציות לרציפות במידה שווה. לפני שנדון בקשר, שווה אולי שנסביר מה זו הרחבה.

ברמה האינטואיטיבית הרחבה של פונקציה זו פונקציה שמוגדרת על תחום גדול יותר מהפונקציה המקורית, ומקבלת בדיוק את אותם ערכים בתחום המקורי כמו הפונקציה המקורית. ויזואלית, דמיינו שלקחנו איזו פונקציה על קטע סופי, והמשכנו לצייר אותה גם מחוץ לקטע. הפונקציה החדשה שקיבלנו היא הרחבה של הפונקציה המקורית.

פורמלית, נניח שיש לנו פונקציה $f:A\to\mathbb{R}$ שמוגדרת על איזו קבוצת מספרים $A$. עכשיו נתבונן בקבוצת מספרים גדולה יותר $A^{*}$, כלומר $A\subseteq A^{*}$. הפונקציה $\tilde{f}:A^{*}\to\mathbb{R}$ תקרא הרחבה של $f$ אם לכל $x\in A$ מתקיים $f\left(x\right)=\tilde{f}\left(x\right)$.

הפונקציה $x^{\frac{4}{3}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ מוגדרת למשל בכל $\mathbb{R}$ פרט לראשית הצירים, והפונקציה $g$ בדוגמה הקודמת היא הרחבה של אותה פונקציה אשר מוגדרת גם בראשית.

אם לפונקציה המקורית שלנו יש גבולות בנקודות הקצה שלה, אפשר להרחיב אותן בצורה שתייצר פונקציה רציפה. למשל הגבול של הפונקציה $x^{\frac{4}{3}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ בראשית הוא 0, ומאחר שהגדרנו $g\left(0\right)=0$ אנו מקבלים למעשה את תכונה הרציפות עבור $g$ $$\lim_{x\to0}g\left(x\right)=\lim_{x\to0}x^{\frac{4}{3}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0=g\left(0\right)$$

הפונקציה $x^{\frac{4}{3}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ אינה רציפה בראשית כי היא כלל לא מוגדרת שם, אך הפונקציה $g$ מוגדרת בראשית ומקיימת את הגדרת הרציפות. הרחבה כזו שמשמרת רציפות בתחום החדש נקראת הרחבה רציפה.

לא כל פונקציה אפשר להרחיב באופן רציף. קחו לדוגמה את $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ על הקטע $\left(0,1\right)$. לא משנה כיצד ננסה להגדיר הרחבה ב-$x=0$, מאחר של-$f$ אין גבול שם, לא נוכל לענות על משוואת הרציפות $$\lim_{x\to0^{+}}\tilde{f}\left(x\right)=\lim_{x\to0^{+}}f\left(x\right)=\tilde{f}\left(0\right)$$ מצד ימין, בנקודה $x=1$ אפשר להרחיב אותה ברציפות על ידי הגדרת $\tilde{f}\left(1\right)=1$.

אז איך כל זה קשור לרציפות במידה שווה? שמח ששאלתם. את הקשר המעניין במיוחד הזה ניתן למצוא במשפט הבא:

רציפות במ”ש והרחבות רציפות

תהי $f:\left(a,b\right)\to\mathbb{R}$.

$f$ רציפה במידה שווה ב-$\left(a,b\right)$ אם, ורק אם קיימת לה הרחבה רציפה ב-$\left[a,b\right]$.

זהו משפט חזק יותר מהמשפטים הקודמים שראינו שכן הוא דו-כיווני. הכיוון השני (מקיום הרחבה רציפה לרציפות במידה שווה) הוא יחסית פשוט להוכחה. נניח שקיימת הרחבה רציפה ב-$\left[a,b\right]$ ונסמנה $\tilde{f}$. לפי משפט קנטור-היינה $\tilde{f}$ רציפה במידה שווה ב-$\left[a,b\right]$. בפרט, היא רציפה במידה שווה ב-$\left(a,b\right)$. $f$ ו-$\tilde{f}$ זהות בקטע $\left(a,b\right)$ ולכן גם $f$ רציפה במידה שווה ב-$\left(a,b\right)$.

הכיוון הראשון הוא כמובן המעניין יותר. נתונה לנו פונקציה רציפה במידה שווה בקטע פתוח, ואנו צריכים להוכיח שקיימת לה הרחבה רציפה בקטע הסגור. זו משימה פחות פשוטה ואתם מוזמנים לראות את ההוכחה שלה בספר של רוס או, אם יש לכם גישה למבחני הקורס אינפי 1מ’, תוכלו לראות הוכחה שונה בשאלה 4 אביב תשע”ז מועד א’.

רעיון ההוכחה הוא זהה אך הביצוע משתמש בתאוריה שונה. ראשית, יש להראות שקיימים גבולות חד-צדדיים בקצוות. במקרה של רוס הוא מראה את קיום הגבול לפי היינה בעזרת תכונת סדרות הקושי שדיברנו עליה קודם בתיבול רעיון הוכחה יצירתי שכבר ראיתי בתרגלים אחרים. (בקיצור – שווה קריאה.) ניתן גם לעשות זאת בעזרת הגדרת גבול חד-צדדית לפי קושי. אחרי שאנו יודעים שקיימים גבולות חד צדדיים, כל מה שנותר הוא להגדיר את ההרחבה באופן הבא: $$\begin{aligned}\tilde{f}\left(a\right) & =\lim_{x\to a^{+}}f\left(x\right)\\ \tilde{f}\left(b\right) & =\lim_{x\to b^{-}}f\left(x\right) \end{aligned}$$ כמובן שלכל $x\in\left(a,b\right)$ מגדירים $\tilde{f}\left(x\right)=f\left(x\right)$ כי זו המשמעות של הרחבה. מן ההגדרה הזו קיבלנו פונקציה רציפה בכל $\left[a,b\right]$.

סיכום

בפרק זה למדנו על המשמעות האמיתית של הרציפות במידה שווה. זו בסך הכל הגדרת רציפות בקטע עם $\delta$ אוניברסלית שמתאימה לכל נקודת רציפות $y$, ותלויה רק ב-$\varepsilon$. המשמעות ברורה שבעתיים כאשר מבינים מה לא אחיד ושיוויוני בהגדרת הרציפות הרגילה בקטע. לאחר מכן דנו במספר רב של תכונות ומשפטים הקשורים באפיון וזיהוי של פונקציות רציפות במידה שווה ולא רציפות במידה שווה. לבסוף דיברנו קצת על הקשר בין הרחבות רציפות לרציפות במידה שווה.

כולי תקווה שעשיתי סולחה בינכם ולבין נושא הרציפות במידה שווה, ושתפציצו במבחן הקרוב בשאלת הרציפות במידה שווה. כפי שאמרתי קודם, אני ממליץ בחום ללמוד להוכיח את כל התכונות שדיברנו כאן לעיל. חלקן יתכן שלמדתם, וחלקן יתכן שיופיעו לכם בצורה כזו או אחרת במבחן.

---

1. אולי מטריד אתכם איך בדיוק נבחרת ה-$\delta$. בחרתי אותה לפי ה-$\delta$ שחישבתי בהגדרת הרציפות. הנקודה היא שאין $\delta$ יחידה שמתאימה לכל נקודה $y$ בקטע, וכל צעד קטן שעושים שמאלה דורש $\delta$ קטנה יותר. ↩

2. לא שמעתם על הספר של רוס? בקרו בפרק “רשימת ציוד” בחלק המבוא של האתר. ↩