אם זו לא הפעם הראשונה שלכם פה, או שאתם פשוט רוצים לגשת לעניין, דלגו ישר לקישורים.

כשהייתי בכיתה ז’, המחנכת שלי אילנה ניהלה איתנו – תלמידי הכיתה – שיחה על הקשיים שלנו. אחד התלמידים, שעל מנת לשמור על כבודו נכנה אותו דני אושן, התלונן שהוא שונא מדעים כי הוא לא מצליח במקצוע הזה אף פעם. אילנה ייעצה לו שאולי אם יבוא עם גישה חיובית לשיעור מדעים, יבין את החומר יותר טוב וכתוצאה מכך יצליח במקצוע. ואולי גם ההצלחה בתורה תשפר את ייחסיו עם המקצוע.

למען האמת, אני לא זוכר אם דני באמת הקשיב לה, ואם כן הקשיב לה האם באמת השתפרו ציוניו. אבל אילנה העלתה נקודה טובה: אי-אפשר לערער על העובדות כי דני שונא מדעים וכי דני לא מצליח במקצוע, אבל אסור להסיק מקיום העובדות כי דני שונא מדעים רק כי הוא לא מצליח אף פעם. תופעה הגיונית במידה לא פחות סבירה היא שדני לא מצליח אף פעם גם כי הוא שונא מדעים.

למעשה, כאשר שתי עובדות מתקיימות, ואין ברשותנו מידע נוסף קיימים 19 קשרי סיבתיות שמסבירים אותם. אני לא מעוניין לעודד אתכם להתחיל להרים מחקרים סטטיסטיים רק כדי להבין למה אולי אתם מתקשים בחומר. מטרתי היא רק לחשוף אתכם לעניין שההצלחה שלכם יכולה להיות גם קשורה לכמה אתם סובלים/נהנים מהחומר שאתם לומדים.

הנה עוד מסקנה אישית שלי שנובעת ממחקר סטטסטי לא מאוד מבוסס: אני מכיר כמה עשרות שהצליחו בצורה משמעותית בקורסי החדו”א. אני גם מכיר הרבה יותר מכמה עשרות שלא הצליחו. בין אלו שלא הצליחו, חלק אוהבים את החומר וחלק לא אוהבים אותו, חלק אפילו ממש מתעבים אותו. אך בין אלה שכן הצליחו, כולם אהבו את החומר, או לפחות אף אחד לא תיעב אותו. מה שהמחקר הקטן שלי בעצם אומר הוא: אם תאהבו את החומר זה לא מבטיח לכם הצלחה, אבל אם לא תאהבו אותו, הסיכוי שלכם להצליח הוא קטן.

אבל אני לא כאן כדי להאשים אתכם. אם אתם בנקודת זמן זו לא חובבים את החומר, אני אומר: זאת לא אשמתכם! אני מאשים את מי שלימד אתכם עד כה (אני בונה על זה שאני לא ברשימה כי רק עכשיו התחלתם ללמוד ממני). אפשר בקלות להפוך חומר מתמטי לא רק למשעמם, אלא גם למייסר.

למזלנו, אי-שם ברחבי האינטרנט, יש שלל טיפוסים נהדרים, שרוצים באמת ובתמים לגרום לכם לראות את היופי במתמטיקה, את הסקרנות והחוויה בגילוי שלה, ואת הסודות המרהיבים שלה. שני אנשים שאני מעריך במיוחד הם גדי אלכסנדרוביץ’ וגרנט סנדרסון (Grant Sanderson).

גדי הוא מרצה בטכניון בפקולטה למדעי המחשב, כותב הבלוג “לא מדויק”. בבלוג של גדי מצאתי מספר מאמרים שמבאירים את החומר בחדו”א בצורה אינטואיטיבית, די דומה למה שתמצאו באתר הזה בפרק הסולחות, אך כמובן בסגנונו האישי של גדי (שמלא גם הוא בהומור ואווירה טובה). כמו כן, יש כמות גדולה מאוד של מאמרים גם על נושאים באלגברה לינארית, שאני מניח שרלוונטית לרוב הקוראים באתר הזה שלוקחים גם קורס באלגברה בסמסטר הראשון שלהם. לא רק זה, יש לו גם סדרה מעניינת במיוחד על תורת הקבוצות, לאלו מכם שלומדים גם מתמטיקה בדידה (דיסקרטית). בנוסף, אמליץ לכם גם על מספר מאמרים מתחומים אחרים במתמטיקה כמו הסתברות ותורת המשחקים, שאני אישית מוצא מעניינים במיוחד. אתם מוזמנים לגלות בעצמכם עוד נושאים מרתקים בבלוג שלו.

שתי הנחיות בנוגע לבלוג של גדי: 1) יש לו דף קטגוריות שם ניתן למצוא פוסטים מסודרים לפי – ניחשתם נכון – קטגוריות. 2) דבר נחמד בסגנון הכתיבה שלו הוא שהוא בדרך כלל עובר מהאינטואיטיבי לפורמלי בצורה הדרגתית. כשרק התחלתי לקרוא פוסטים באתר שלו פשוט הייתי עוצר כשהייתי מרגיש שהם נהיים כבדים מדי בשבילי.

גרנט הוא היוצר של ערוץ היוטיוב המפורסם 3Blue1Brown. בסרטוניו, גרנט מסביר בעזרת הדגמות ויזואליות מעלפות נושאים רבים במתמטיקה אוניברסיטאית. מעבר להסברים מעולים על נושאים בתחום האינפי תמצאו אצלו גם הסברים על נושאים באלגברה לינארית ושלל נושאים אחרים הקשורים במתמטיקה. גם לגרנט סגנון הסבר אינטואיטיבי וייחודי.

חומרים לקריאה

להלן פוסטים בבלוג של גדי “לא מדוייק” הקשורים בנושאים של חדו”א, כולל תקציר קצר שלי על התוכן שלהם ומדוע הוא רלוונטי לכם או יעניין אתכם.

קשורים לחדו”א

1. מהו גבול? (של סדרה).
2. מהן פונקציות? (גרסה מכוונת-חדו”א).
3. גבולות של פונקציות ופונקציות רציפות – הסבר מעולה על הגדרת הגבול ועל ההגדרה המתבקשת אחריה, הגדרת הרציפות.
4. אז מה זו נגזרת?
5. משפט הערך הממוצע של לגראנז’ – על משפט לגראנז’, קושי, למה זה טוב, איך מוכיחים אותך, ואיך זה קשור לכלל לופיטל.

לא קשורים לאינפי אבל אותי ממש עניין

1. משפטי נקודת השבת של בנך וברואר – לכל מפת עולם שתניחו איפשהו בעולם, יש נקודה על המפה שנמצאת בדיוק מעל הנקודה הגאוגרפית שהיא מתארת. רוצים לדעת עוד? המאמר מציג תוצאה מעניינת מאוד מתוך ענף במתמטיקה שלא קשור ישירות לחדו”א. יחד עם זאת, לסטודנט שלקח את הקורס ומכיר את סדרות קושי והגדרת רציפות לפי סדרות יש את כל הידע הדרוש להבין את המאמר.
2. פרדוקס המבחן האמריקאי – שאלה ויראלית שמתבררת כפשוט תרמית. אבל העניינים מסתבכים…
3. כיצד פרדוקס יום ההולדת מוליד חוב בבנק – מה הסיכויים ששני אנשים במסיבה נולדו באותו היום (יום וחודש, לא כולל השנה), ולמה זה מקור לבעיית אבטחת מידע חמורה.
4. הבעיה של מונטי הול – בעיה קלאסית בהסתברות עם תוצאה מפתיעה במיוחד.
5. משפט הנישואים היציבים – זה אמנם לא פותר את בעיית הגירושין, אבל זה כן שימושי עבור חברות שצריכות לשבץ עובדים.
6. בחר לך דיקטטור – בכל מערכת בחירות יש בעיה, אבל היא בכלל מתמטית.
7. מי שהיה נשוי שלוש נשים – סיפור מרתק שמתחיל בהנחיה משונה במשנה, ונגמר בחוק הכלים השלובים.

אגב חומרים לקריאה, אם תורת המשחקים מעניינת אתכם אבל אתם מעדיפים סיפורים יותר חברותיים ופחות מתמטיים, אני ממליץ לקרוא את “שיחות על תורת המשחקים” של חיים שפירא.

חומרים לצפייה

כשזה מגיע לחומר צפייה רלוונטי לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, אין יותר מתאים מהסדרה של 3Blue1Brown – “מהות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי”.

קישור לסדרה

איזה פרקים אני ממליץ לראות? את כולם. גם את אלו שעוד לא הגעתם בחומר, וגם את אלו שבכלל לא בחומר, כמו אינטגרלים וגזירה סתומה (Implicit Differentiation). למה? כי הם יראו לכם את התמונה השלמה. את המהות. תסמכו על גרנט שהוא יסביר הכל מעולה. כשרואים את התמונה השלמה קל יותר להבין ולהשלים עם החומר שאנחנו צריכים לדעת. הבנת הקשר העמוק בין האינטגרציה לגזירה עוזר להבין טוב יותר מה זו גזירה.

על אף שזהו אתר שעוסק בחדו”א, אני חושב שהסדרה שלו שממש הפתיעה אותי הייתה הסדרה מהות האלגברה. כשאני למדתי אלגברה לינארית הייתי בטוח שחבורת מתמטיקאים לאורך אלפי שנים המציאו מושגים אבסטרקטיים שמתגלים כשימושיים בענפים מתמטים מתקדמים כמו אופטימזציה ומשוואות דיפרנציאליות. מסתבר שטעיתי בגודל, והסדרה הזו מסבירה למה יש המון אינטואיציה והגיון באלגברה לינארית. מומלץ בחום.

בעיקרון אני יכול להמשיך להמליץ על כל הסרטונים בערוץ (שלא קשורים לחדו”א). יחד עם זאת, עבור חלק מהנושאים כן כדי להכיר אותם היכרות פורמלית ראשונית. להלן המלצות שלי לסרטונים שאינם קשורים לחומר אך מעניינים במיוחד ולא דורשים שום היכרות ראשונית עם נושא מסויים.

1. למה מספרים ראשוניים יוצרים ספירלות? – הסבר מעניין ביותר לתופעה יפה במיוחד הקשורה במספרים ראשוניים.
2. מהי רשת נוירונים? – לא מדובר במוח שלנו, אלא במודל מתמטי מתחום למידת המכונה ששינה את פני התחום ב-20 שנים האחרונות בצורה יוצאת דופן. כמעט כל טכנולוגיה בקדמת הבינה המלאכותית כיום מבוססת על רשתות נוירונים. סרטון זה מסביר מה הן ברמה הבסיסית, ומה הן לא. למעשה זה סרטון מתוך סדרה, ובפרקים הבאים הוא מסביר על איך “מאמנים” את אותן רשתות להצליח במשימות. יחד עם זאת, הבנת הליך האימון עלול להיות מעט מורכב למי שלא מכיר נושאים מלמידת מכונה ובעיקר מחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי מרובה משתנים.
3. איך למעשה עובד ביטקוין? – סרטון מרתק בנושא המטבע הקריפטוגרפי הראשון שהתחיל מהפכה בעולם הכלכלה. מסביר את העקרונות המתמטיים שעומדים מאחורי הטכנולוגיה.
4. כמה בטוחה אבטחת 256 ביט? – בהמשך לסרטון על הביטקוין, סרטון קצר שמסביר כמה קשה (עד לא פרקטי בעליל) לפרוץ אבטחה של 256 ביט על ידי שיטה פשוטה של ניסוי וטעייה.

לסיכום, אני רוצה להמליץ על עוד ערוץ אחד, שלא קשור לחדו”א באופן ישיר בכלל אבל אותי הוא משעשע כבר כמה שנים – Numberphile. בכל סרטון של נאמברפייל מארחים מתמטיקאי אחר, שמסביר על בעיה מתמטית פשוטה או מסובכת בצורה שתהיה מובנת לכל אדם סקרן שיתעניין. להלן רשימה של כמה סרטונים שאני אהבתי במיוחד:

1. שולחן ביליארד עם הצלחה מובטחת.
2. הסיפור המפתיע של שורש 2.
3. הסיפור המאוד מפתיע על המשפט האחרון של פרמה.
4. חמניות ויחס הזהב.
5. קבוצת מנדלברוט – לא להאמין איזה צורות אפשר לקבל ממשוואה כל כך פשוטה.
6. משחק הכאוס – לא להאמין איזה צורות אפשר לקבל ממשחק כל כך פשוט.
7. הנוסחה שמכילה הכל.

זה הרבה מאוד חומר להיום חברים. ההמלצה שלי: מנה אחת ביום. בתיאבון!

---