אני מניח שבשלב הזה אתם בקיאים בנושא הסילוגזם (אם לא, לכו לקרוא את הפרק על הלוגיקה קודם), שכן זהו נושא מרכזי בפרק זה. בנוסף אני מניח שקראתם גם את הפרק על הלמידה, ובפרט את החלק המסביר על מבנה שאלת הוכחה (החלק האחרון), כך שביטויים כמו “שכבת התאוריה” ו-”שכבת הלוגיקה” מוכרים לכם.

פרק זה עוסק בשאלות ההוכחה כפי שתוארו בפרק על הלמידה. על מנת להמחיש את הרעיונות היטב, נתחיל בתרגילים הפשוטים ביותר שיכולים להיות, ונעלה ברמה. את ההוכחות הראשונות אכתוב בצורה של משפטים ממוספרים על מנת שיהיה קל יותר לדון בהם אחר כך. באופן כללי אין שום חובה לעשות זאת בהוכחה אמיתית.

את סוגי ההוכחות אחלק לשלושה: הוכחות לפי הגדרה, הוכחות בעזרת הגדרה והוכחות בעזרת משפטים. החלוקה היא די מלאכותית אך מאפשרת להפריד את ההוכחות לרמות סיבוכיות שונות.

הוכחות לפי הגדרה

הוכחות לפי הגדרה הן סוג שאלות ההוכחה הפשוט ביותר. הסיבה היא (כפי שמרמז השם) שההגדרה נותנת לנו את המבנה של ההוכחה. ככה שכשאתם רואים שצריך להוכיח משהו לפי הגדרה, תוכלו כבר לדעת פחות או יותר איך תראה ההוכחה. שכבת התאוריה של הוכחות לפי הגדרה הן בדרך כלל פשוטות ומכילות רק ביטויים אלגבריים (כמו אי-שיוויונים כאלו ואחרים).

דוגמה – הגדרת האינפימום

הוכיחו לפי הגדרה כי $\inf\left\{ \frac{1}{n}\vert\,n\in\mathbb{N}\right\} =0$.

התפלפלות בהגדרה

לפני שנבין מה זה אומר להוכיח לפי הגדרה, בואו נזכר מה היא בכלל ההגדרה. באופן כללי זהו צעד חשוב עד הכרחי בכל הוכחה לפי הגדרה. תמיד לפני שמתחילים, רשמו לעצמכם את ההגדרה, בראש או על הדף.

הגדרת האינפימום

מספר $L$ יקרא האינפימום של קבוצה $A$ (ויסומן $L=\inf A$) אם, ורק אם מתקיים:

1. לכל $x\in A$: $L\le x$

2. לכל $\varepsilon>0$ קיים $x\in A$ כך ש: $x<L+\varepsilon$

בואו נבין לעומק את ההגדרה. האינפימום חייב לקיים שתי תכונות. התכונה הראשונה היא תכונה של חסם תחתון, כלומר כל איברי הקבוצה גדולים או שווים לו. התכונה השנייה היא מה שנוהגים לכנות “החסם התחתון הגדול ביותר”. אבל בואו נבין למה התכונה השנייה מתארת את ההתנהגות הזו. התכונה השנייה נפתחת במילים “לכל $\varepsilon>0$”. אך מה $\varepsilon$ מסמן? בהמשך המשפט אנו רואים את אי-השיוויון $x<L+\varepsilon$. כלומר, $\varepsilon$ למעשה מגדיר מספר חדש $L+\varepsilon=L^{*}$ הגדול ממש מ-$L$: $L^{*}>L$. אז אפשר לקרוא את “לכל $\varepsilon>0$” בעצם כמו “לכל מספר $L^{*}$ אשר גדול ממש מ-$L$”. ומה עושים עם אותו $L^{*}$? לפי המשפט השני, לכל מספר כזה קיים איבר בקבוצה $\left(x\in A\right)$ אשר קטן ממש מאותו $L^{*}$. במילים אחרות $L^{*}$ הוא לא חסם תחתון של $A$ (כי קיים איבר בקבוצה שקטן ממנו). ולכן החלק השני מסביר מדוע $L$ הוא החסם התחתון הגדול ביותר, שכן כל מספר גדול ממנו – $L^{*}$ – הוא לא חסם תחתון.

תכנית משחק

עכשיו בואו נדבר על מה זה אומר להוכיח שמספר מסויים (במקרה שלנו $0$) הוא האינפימום של קבוצה. חשבו על בית משפט, על מנת לקבוע את אשמתו של מועמד לדין, יש להציג ראיות מספקות כדי להוכיח את אשמתו. במקרה של הוכחות בחדו”א, כל הגדרה למעשה מתארת לנו מה הן הראיות המספקות כדי להוכיח את אשמת המספר $0$ בהיותו אינפימום (פשע חסר תקדים). לכן במהלך ההוכחה נצטרך להראות למה $0$ מקיים את שתי התכונות של האינפימום. כלומר מדוע הוא חסם תחתון, ומדוע הוא החסם התחתון הגדול ביותר.

ניתן כמובן לתת ראיות חמורות יותר. אולי במקום להראות שהמספר $0$ הוא חסם תחתון של $A$, נראה שהוא גם חסם תחתון של עוד $30$ קבוצות אחרות. אבל החוכמה במתמטיקה היא להוכיח כמה שיותר בעזרת כמה שפחות. לכן נוכיח רק את מה שחייבים.

לפעמים הוכחת הראיות הן ממש טריוואליות שכמעט ואי-אפשר לקרוא להן “הוכחה”. כך או כך, כדאי מאוד לכלול אותן בהוכחה שלנו בתור “ציון הראיות”. איך נוכיח את תכונה 1? זו תכונה יחסית פשוטה, שכן כל האיברים בקבוצה מתקבלים על ידי לקיחת המספר $1$ וחלוקתו במספר טבעי. חלוקה של שני מספרים טבעיים (ובפרט חיוביים) נותנת מספר חיובי, ועל כן כל איברי הקבוצה הם חיוביים. (כלומר נחסמים מלמטה על ידי $0$.) זו בדיוק דוגמה להוכחה סופר-טריוואלית, ולכן רק נציין את הראייה הזו מבלי ממש להסביר מדוע היא נכונה. (למי שרוצה, אין שום בעיה גם לתת כל ההסבר שנתתי לעיל, לא תאבדו אפילו נקודה על כך.)

איך נוכיח את תכונה 2? זו כבר עבודה קשה יותר. צריך להוכיח שלכל הגדלה של המספר $0$ (האינפימום בבדיקה) קיים איבר בקבוצה הקטן מההגדלה הזו של $0$. אבל כמה אופציות כאלו למספרים גדולים מ-$0$ יש? אינסוף! אז מה, נצטרך להוכיח לכל מספר שגדול מ-$0$ ספציפית למה הוא לא חסם תחתון? אנחנו לא נצא מזה. לכן מה שעושים – זה לא מתחייבים. בתחילת ההוכחה נגיד שאנו לוקחים מספר גדול כזה מ-$0$, $L^{*}=0+\varepsilon$, פשוט לא נגיד ספציפית מי הוא. אם למרות שלא התחייבנו בדיוק מה הוא ה-$L^{*}$ הזה הצלחנו להראות למה הוא לא חסם תחתון, אז למעשה הטיעון שלנו תקף לכל $L^{*}$ כזה. כלומר בדיוק מה שהיינו צריכים להוכיח.

שנייה לפני שנכתוב את ההוכחה בואו נסכם:

1. ההוכחה תתחלק לשני חלקים, ממש כמו ההגדרה.
2. בכל חלק נראה (או רק נציין) למה התכונה הדרושה מתקיימת.
3. את החלק השני נפתח במין ביטוי שיגיד “אני לוקח עכשיו איזשהו מספר גדול מ-$L$” ואז נראה למה הוא לא חסם תחתון.

הוכחה

1. נשים לב כי כל איברי הקבוצה $A=\left\{ \frac{1}{n}:\,n\in\mathbb{N}\right\}$ הם חיוביים כמנה של מספרים טבעיים. לכן לכל $x\in A$: $x>0$. כלומר $0$ הוא חסם תחתון של הקבוצה.
2. יהי $0<\varepsilon$.
3. נסמן ב-$N$ את אחד המספריים הטבעיים המקיים $\frac{1}{\varepsilon}<N$. אנו יודעים שקיים מספר טבעי כזה, כי “אין חסם עליון למספרים הטבעיים”¹.
4. נשים לב כי המספר $\frac{1}{N}$ שייך לקבוצה $A$ ומקיים לפי אי-השיוויון לעיל $\frac{1}{N}<0+\varepsilon$.
5. לכן $\inf\left\{ \frac{1}{n}:\,n\in\mathbb{N}\right\} =0$.

ניתוח ההוכחה

כפי שאמרנו ההוכחה נחלקת לשני חלקים. החלק הראשון כולל את המשפט הראשון. החלק השני כולל את המשפטים 2,3 ו-4. משפט 5 הוא רק משפט סוגר שמגיע מטעמי ניסוח (אין לו באמת משמעות לוגית).

דבר נוסף, זוכרים שאמרנו שאת החלק השני נפתח בביטוי שיגיד משהו כמו “אני לוקח עכשיו איזשהו מספר גדול מ-$L$”? זה בדיוק משפט מספר 2. אני מזכיר שלפי ההגדרה, ה-$\varepsilon$ למעשה מגדיר את המספר הזה שגדול מ-$L$. בשלב ניסוח ההוכחה רצוי ולפעמים דרוש להשתמש באותיות ובמשתנים שנתנה ההגדרה בתוך ההוכחה.

אחרי שסיפרנו על מספר כזה גדול מ-$L$ במשפט 2, משפטים 3,4 מתארים למה קיים איבר בקבוצה שמקיים $\frac{1}{N}<L+\varepsilon$. מאחר שהראנו מדוע $0$ הוא חסם תחתון ומדוע הוא הגדול ביותר, אנו רשאים להודיע בחגיגיות בסוף ההוכחה ש-$0$ הוא האינפימום של הקבוצה.

האם אתם רואים כיצד סדר הטיעונים בהוכחה דומה לסדר הטיעונים בהגדרה? זה בדיוק מה שאמור לקרות בהוכחות לפי הגדרה. בואו נראה עוד דוגמה.

דוגמה – הגדרת הגבול

הוכיחו לפי הגדרה $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$$

התפלפלות בהגדרה

ראשית בואו נזכר בהגדרת הגבול (כפרה עליה).

הגדרת הגבול

מספר $L$ הוא גבול של סדרה $a_{n}$ אם, ורק אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$

בואו נבין את ההגדרה לעומק. אני חושב שהכי קל להבין אם מתחילים לקרוא מהסוף². בסוף ההגדרה אנו פוגשים את אי-השיוויון הזה $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. באופן כללי, אי-שוויון מהצורה $\left|a-b\right|$ מסמל את המרחק בין הנקודה $a$ לנקודה $b$. לכן אי-השיווין $\left|a_{n}-L\right|$ מסמל את המרחק של איברי הסדרה $a_{n}$ מהמספר (ה-so called גבול) $L$. בנוסף, אנחנו רואים שהמרחק הזה מופיע כחלק מאי-שוויון. וספציפית, אי-השוויון אומר שהמרחק הזה קטן מ-$\varepsilon$. וכשאני ואתם רואים אי-שוויון כזה, כדאי מאוד שנשאל את השאלות הבאות:

1. מי הוא $\varepsilon$? האם אפשר לדרוש שהמרחק בין איברי הסדרה למספר $L$ יהיה קטן כמה שנרצה?
2. עבור אילו איברים בסדרה, כלומר עבור אילו ערכי $n$ מתקיים אי-השוויון? האם הוא מתקיים לכל איברי הסדרה? או אולי רק לחלק? האם החל מאינדקס מסויים הוא מתקיים? או שאולי רק עד אינדקס ספציפי?

התשובה לשתי השאלות האלו היא המהות של הגדרת הגבול. התשובה לשאלה הראשונה היא: כל $\varepsilon$ חיובי. במילים אחרות, ניתן לדרוש שהמרחק בין איברי הסדרה לגבול יהיה קטן כמה שנרצה. התשובה לשאלה השנייה היא: לא לכל האיברים, אלא רק החל מאינדקס מסויים. ומה הוא האינדקס? האינדקס הוא… $N$. אז למעשה הגדרת הגבול אומרת, שניתן לגרום למרחק בין איברי הסדרה לגבול להיות קטן כמה שנרצה, כל עוד אנחנו מוכנים שהגבלת המרחק תהיה תקפה מאינדקס מסויים $N$ והלאה. נקודה מעניינת לשים לב אליה, זה שלפי ההגדרה, ה-$N$ ניתן לנו אחרי שבחרנו $\varepsilon$. בכך למעשה, באופן נסתר מן העין, הערך של $N$ כנראה תלוי ב-$\varepsilon$. וזה לא כל כך תלוש, אנחנו הרי מצפים שככל ש-$\varepsilon$ יהיה קטן יותר (כלומר דרישה להיות קרוב יותר לגבול) ה-$N$ יהיה גדול יותר (כלומר התופעה תתחיל ממקום מאוחר יותר בסדרה).

חשוב מאוד לעשות את “השיחה” הזאת על משמעות ההגדרה עם כל הגדרה שאתם פוגשים. הבנה עמוקה של ההגדרה היא שלב הכרחי בדרך להוכחה של קיומה.

תכנית משחק

אז, איך מוכיחים הגדרה כזו? כפי שראינו בדוגמה הקודמת, ההגדרה מספרת לנו מה הן הראיות המספקות שעלינו להראות על מנת להוכיח את אשמת הסדרה בהתכנסות (פשע נתעב אף יותר). אנחנו בעצם צריכים להוכיח, שלכל הגבלה על המרחק בין איברי הסדרה לגבול, אנחנו יכולים למצוא אינדקס סף $\left(N\right)$, שהחל ממנו מתקיימת הגבלת המרחק על איברי הסדרה. אבל יש אינסוף דרכים להגביל את המרחק בין הסדרה לגבול! אפשר לדרוש שהמרחק יהיה קטן מ-$\frac{1}{2}$, או אולי יותר קטן מ-$8$. יש אינסוף ערכי $\varepsilon$ גדולים מאפס. אז מה? נעבור אחד-אחד? גם כאן לא ננסה לעשות זאת (על אף שמי שאמיץ מוזמן). מה שכן נעשה, זה נניח בתחילת השאלה כי יש כזה $\varepsilon$ חיובי, ולא נתחייב מה הערך שלו. אם למרות שלא אמרנו ספציפית מה הוא הצלחנו להוכיח שקיים אינדקס סף $N$ שכל איברי הסדרה עם אינדקס גדול ממנו עומדים בהגבלת המרחק, אז הרי שזה נכון לכל $\varepsilon>0$.

בדומה לדוגמה הקודמת, אתם יכולים לצפות שאיפשהו בהוכחה יופיע משפט בסגנון “תביאו לי $\varepsilon$ חיובי ואני כבר אראה לכם ששאר הדברים מתקיימים”. (אתם יכולים לנחש איך מנסחים את המשפט הזה?)

ומה אחר כך? כאן מגיע הכיף של הוכחות לפי הגדרה. אנחנו נמשיך פשוט להראות מה שההגדרה רוצה. לפי ההגדרה, אחרי החלק עם ה-$\varepsilon$ צריך לומר מי הוא ה-$N$ שהחל ממנו הסדרה מקיימת את תנאי המרחק. עכשיו מגיעה בעייתיות מסויימת, כי למרות שקל מאוד להגיד “תביאו לי $\varepsilon$ חיובי”, צריך להפעיל קצת את הראש כדי להגיע למסקנה מה הוא ה-$N$ המתאים. לשם כך אנחנו נעשה מחקר. המחקר לא יהיה חלק מההוכחה שלנו (בדרך כלל זה מה שנעשה בטיוטה), והוא יעזור לנו להבין מה הוא ה-$N$ הדרוש.

מחקר

נניח שמישהו נתן לנו הגבלת מרחק $\varepsilon$ כלשהי. בואו ננסה להבין עבור אילו ערכי $n$ מתקיים $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. בעיקרון אנחנו יכולים פשוט לפתור את אי-השוויון הדרוש ולבודד את $n$ $$\begin{gathered}\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\\ \left|\frac{1}{n+1}-0\right|<\varepsilon\\ \frac{1}{n+1}<\varepsilon\\ \frac{1}{\varepsilon}-1<n \end{gathered}$$ פשוט מאוד. לכן, אם נגדיר את $N$ להיות $\frac{1}{\varepsilon}-1$ אז לכל $n>N$ יתקיים $$\begin{gathered}N<n\\ \frac{1}{\varepsilon}-1<n\\ \frac{1}{\varepsilon}<n+1\\ \frac{1}{n+1}<\varepsilon\\ \left|\frac{1}{n+1}-0\right|<\varepsilon\\ \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon \end{gathered}$$ שזה בדיוק מה שאנחנו צריכים.

בואו נסכם הכל. אנחנו פותחים את ההוכחה במשפט מהסוג “תביא לי הגבלה על המרחק”. אחר כך אנחנו ישר מספרים מהו ה-$N$ המתאים. ומה אז? עכשיו לפי ההגדרה יש את המשפט “לכל $n>N$ מתקיים $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$”. כלומר אנחנו צריכים להראות שלכל האינדקסים שגדולים מ-$N$ מתקיים אי-השוויון. אז מה, נעבור אינדקס אינדקס? אני חושב שאתם כבר מתחילים להבין את הרעיון. בשלב הזה בהוכחה נגיד “תביאו לי אינדקס בסדרה שגדול מ-$N$” ואחר כך נראה שאי-השיוויון הדרוש מתקיים עבור האינדקס הזה. מאחר שלא התחייבנו מהו האינדקס אלא רק דרשנו שיהיה גדול מ-$N$, אז זה נכון לכל אינדקס שגדול מ-$N$. שימו לב שהחיים שלנו די קלים, כי אנחנו כבר יודעים איך להראות את נכונות אי-השיוויון הזה לפי המחקר. רק צריך להעתיק את החלק המתאים. ובזה בעצם מסתיימת ההוכחה.

הוכחה

1. יהי $\varepsilon>0$.
2. נבחר $N=\frac{1}{\varepsilon}-1$.
3. יהי $n>N$.
4. מתקיים $$\left|a_{n}-L\right|=\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{N+1}=\varepsilon$$
5. לכן $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$.

ניתוח ההוכחה

שמתם לב ל”יהי $\varepsilon>0$” בתחילת ההוכחה? האם זה במקרה או שיש כאן תבנית?

כלל הברזל להוכחות לפי הגדרה

כאשר בהגדרה רשום הביטוי “לכל $x$ המקיים $y$” ברוב המקרים בהוכחה יופיע הביטוי “יהי $x$ המקיים $y$”

למשל אם בהגדרת הגבול או הגדרת האינפימום רשום “לכל $\varepsilon>0$”, בהוכחה נרשום “יהי $\varepsilon>0$”.

אז אכן אנחנו פותחים את ההוכחה כך כי אנחנו צריכים להוכיח משהו לכל האפסילונים החיוביים. אחר כך (במשפט השני), בהתאם להגדרה אנחנו מודיעים מי הוא ה-$N$ המתאים ל-$\varepsilon$ שנלקח. בהתבסס על כלל הברזל האם אתם מבינים למה כתבנו מה שכתבנו במשפט 3? הסיבה היא שבהגדרה היה רשום שצריך להוכיח שתנאי המרחק מתקיים לכל האינדקסים הגדולים מ-$N$. אז אנחנו משתמשים באותו ניסוח בהגדרה בהתאם לכלל הברזל ולכן רושמים “יהי $n>N$”. משפט 4 הוא החלק היפה, בו אנחנו מראים שאכן כל האיברים בסדרה עם אינדקס $n$ גדול מ-$N$ מקיימים את תנאי המרחק. ישנה אלגנטיות מאוד יפה בהוכחות האלו שכן אי-השיוויון $n>N$ גורר את אי-השיוויון $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{N+1}$. יחד עם בחירת ה-$N$ הגדול שעשינו אנחנו רואים שבדיוק מתקיים $\frac{1}{N+1}=\varepsilon$. זה לא מקרי, וזה נובע בדיוק מהמחקר שערכנו. אנחנו נראה עוד דוגמה כזאת מיד. לבסוף משפט 5 חותם את ההוכחה כמו בדוגמה הקודמת.

האם אתם מצליחים לראות כיצד סדר המשפטים בהוכחה דומה לסדר המשפטים בהגדרה? פותחים ב-$\varepsilon$, עוברים ל-$N$, אחר כך מתעסקים עם האינדקסים $n$ הגדולים מ-$N$ ולבסוף מראים את אי-השיוויון $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. וכמו מקודם, זה משהו שבדרך כלל קורה בהוכחות לפי הגדרה. עוד דוגמה? יאללה מסיבה.

דוגמה – הגדרת הגבול עם טריקים אלגבריים

הוכיחו לפי הגדרה כי $$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}\right)=0$$ אין צורך להתפלפל שוב בהגדרה, נעבור ישר לתכנית המשחק.

תכנית משחק

אנחנו יודעים שנפתח את ההוכחה בהכרזה על אפסילון חיובי (לפי כלל הברזל). השלב הבא (ושוב, אנחנו עוקבים אחרי ההגדרה בסך הכל) הוא להכריז מי הוא ה-$N$ המתאים. לשם כך כמו מקודם נערוך מחקר.

מחקר

אז יש לנו איזה $\varepsilon$ חיובי. אנחנו מעוניינים לדעת עבור אילו אינדקסים מתקיים $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. יאללה קצת מתמטיקה $$\begin{gathered}\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\\ \left|\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}-0\right|<\varepsilon \end{gathered}$$ מתקיים $\sqrt{n^{4}+50n}>\sqrt{n^{4}+49n}$ לכן אפשר לזרוק את הערך המוחלט $$\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}<\varepsilon$$ אוקיי… איך פותרים את זה?

המחקר נכשל? תראו עם כל הכבוד לאי-השוויון הפשוט שפתרנו קודם, פה זה ממש לא הולך לעבוד. יכול להיות שיש אמיצים ואמיצות בקהל שינסו לשבור את הראש על מנת לפתור את אי-השוויון, אך האם באמת יש צורך? מן הדרמטיות בשאלה אתם וודאי מבינים שאין צורך. מדוע אין צורך? ובכן בואו כן נתפלפל קצת בהגדרה בכל זאת.

הזכרו בהגדרת הגבול. לפי ההגדרה, לכל הגבלת מרחק (לכל $\varepsilon$ חיובי) קיים אינדקס סף $\left(N\right)$, שהחל ממנו איברי הסדרה מקיימים את הגבלת המרחק. עכשיו דמיינו רגע שאין צורך להוכיח שום דבר, ואנחנו יודעים שהגדרת הגבול מתקיימת. אם זה אכן כך, אנחנו יכולים לבחור איזו הגבלת מרחק כרצוננו, למשל $\varepsilon_{1}=\frac{1}{10}$, ולפי ההגדרה יש אינדקס סף, נניח $N_{1}=100$, כך שכל האיברים בסדרה עם אינדקס גדול יותר מקיימים את הגבלת המרחק. האם $N_{1}$ הוא מיוחד? בכלל לא. הגדרת הגבול לא מעוניינת באינדקס המדוייק שהחל ממנו איברי הסדרה מקיימים את הגבלת המרחק, היא רק רוצה איזשהו אינדקס כזה שהחל ממנו זה מתקיים. הגבלת המרחק מתקיימת לכל האיברים עם אינדקס גדול מ-$100$? היא גם כמובן תתקיים לכל האיברים עם אינדקס גדול מ-$200$.

כיצד ניתן לנצל את האדישות הזו של ההגדרה? ובכן, בואו נסתכל רגע על הסדרה $b_{n}=\left|a_{n}-L\right|$. (במחקר שהתחלנו לא מזמן $b_{n}=\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}$.) סדרה זו מודדת את המרחקים בין איברי הסדרה לגבול. אנחנו מעוניינים להראות שלכל מספר חיובי $\varepsilon$, קיים אינדקס סף $N$ כך שכל האינדקסים עכשיו שגדולים מ-$N$ יקיימו שסדרת המרחקים $b_{n}$ תהיה קטנה מ-$\varepsilon$. מה אם, ברוב חוצפתנו, במקום להסתכל על $b_{n}$, נסתכל על סדרה גדולה ממנה $c_{n}$ ונראה שעבור אותה $c_{n}$ אנחנו מצליחים למצוא אינדקס סף $N$, כך שכל האיברים עם אינדקס גדול ממנו מקיימים $c_{n}<\varepsilon$. במילים אחרות, נמצא $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $$\left|a_{n}-L\right|=b_{n}<c_{n}<\varepsilon$$ בעיקרון הכל בסדר, כי בסופו של דבר, הצד השמאלי ביותר והצד הימני ביותר של אי-השיוויון זה בדיוק מה שאנחנו צריכים. למה זה עוזר כל הסיפור הזה? כי בהרבה מקרים ניתן לסדר ש-$c_{n}$ תהיה סדרה ממש ממש פשוטה. ואז פתירת אי-השיוויון $c_{n}<\varepsilon$ הופכת להיות פשוטה כמו בדוגמה הקודמת. זה נשמע קצת מורכב, בואו נראה את זה קורה בפועל ונדון בזה שוב לאחר מכן.

המשך מחקר

$$\left|a_{n}-L\right|=\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}$$ נשתמש בטריק נחמד שאני אוהב לקרוא לו “טיפול שורש”. אפשר להשתמש בו כשיש חיסור של שורשים (יש טריק דומה עבור שורשים מסדר 3). הטריק מתבסס על הזהות המתמטית האהובה $$a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$ ספציפית אנו נשתמש בצורה אחרת של הזהות $$a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}$$ במקרה שלנו $a=\sqrt{n^{4}+50n},\,b=\sqrt{n^{4}+49n}$. ולכן $$\begin{aligned}\left|a_{n}-L\right| & =\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}=\frac{\left({\color{green}n^{4}}+{\color{orange}50n}\right)-\left({\color{green}n^{4}}+{\color{orange}49n}\right)}{\sqrt{n^{4}+50n}+\sqrt{n^{4}+49n}}\\ & =\frac{n}{\sqrt{n^{4}+50n}+\sqrt{n^{4}+49n}} \end{aligned}$$ עד כאן, לא עשינו הרבה. עכשיו מתחיל הכיף $$\begin{aligned}\left|a_{n}-L\right| & =\frac{n}{\sqrt{n^{4}+50n}+{\color{red}\sqrt{n^{4}+49n}}}<\frac{n}{\sqrt{n^{4}+{\color{red}50n}}+0}\\ & <\frac{n}{\sqrt{n^{4}+0}}=\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}=c_{n} \end{aligned}$$ כלומר המרחק האהוב עלינו $\left|a_{n}-L\right|$ התגלה כקטן יותר מהסדרה האהובה עלינו $\frac{1}{n}$. ברור מאוד כי עבור ערכים טבעיים המקיימים $n>\frac{1}{\varepsilon}$ יתקיים כי $\frac{1}{n}<\varepsilon$. אבל שימו לב לכל $n$ טבעי מתקיים גם $\left|a_{n}-L\right|<\frac{1}{n}$. לכן, וזה לכן גדול מאוד כאן, אם נגדיר את $N$ להיות $\frac{1}{\varepsilon}$, נקבל שלכל $n>N$ יתקיים $$\left|a_{n}-L\right|<\frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\varepsilon$$ ובכך מצאנו אינדקס סף.

ראיתם מה זה? אותו אי-שיוויון איום הפך להיות בעיה של חטיבת-ביניים. עכשיו אנחנו יכולים לכתוב את ההוכחה. ואיך ננסח את כל החוכמה שהבנו כאן? למעשה אפשר ללכת ממש לפי ההוכחה הקודמת, בתוספת המחקר החדש שלנו.

הוכחה

1. יהי $\varepsilon>0$.
2. נבחר $N=\frac{1}{\varepsilon}$.
3. יהי $n>N$.
4. מתקיים $$\begin{aligned}\left|a_{n}-L\right| & =\left|\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}-0\right|=\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}\\ & =\frac{\left(n^{4}+50n\right)-\left(n^{4}+49n\right)}{\sqrt{n^{4}+50n}+\sqrt{n^{4}+49n}}=\frac{n}{\sqrt{n^{4}+50n}+\sqrt{n^{4}+49n}}\\ & <\frac{n}{\sqrt{n^{4}+50n}}<\frac{n}{\sqrt{n^{4}}}=\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\varepsilon \end{aligned}$$
5. לכן $\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}\right)=0$.

ניתוח ההוכחה

מה שמיוחד בדוגמה הזו, הוא המחקר המשובח שנעשה על מנת למצוא את האינדקס סף $N$ בהינתן ה-$\varepsilon$. לקחנו את סדרת המרחקים שלנו $$b_{n}=\left|a_{n}-L\right|=\left|\sqrt{n^{4}+50n}-\sqrt{n^{4}+49n}-0\right|$$ והראנו שהיא חסומה מלמעלה על ידי הסדרה הפשוטה $$c_{n}=\frac{1}{n}$$ לאחר מכן פתירת אי-השיוויון $$c_{n}<\varepsilon$$ הייתה פשוטה ביותר ובכך קבענו מה צריך להיות ערכו של $N$. מעבר לכך, ההוכחה הייתה באותו מבנה בדיוק כמו ההוכחה הקודמת. האם זה מקרי? כלל לא. זה בדיוק היתרון של הוכחות לפי הגדרה, הן בגדול נראות אותו דבר (עד כדי ההגדרה).

שיטת חד-גדיא

לשיטה הזו שראינו במחקר הנוכחי הוצע לקרוא “שיטת חד-גדיא”, שכן בדרך למצוא את הסדרה הפשוטה $c_{n}$ מצאנו שלל סדרות שגדולות אחת מהשנייה³. נקודה חשובה בנוגע לסדרה $c_{n}$ אליה מגיעים בסוף, היא שהסדרה הזו חייבת לשאוף ל-0. אם $c_{n}$ לא תשאף לאפס, הפתרון של אי-השיוויון $c_{n}<\varepsilon$ לא יהיה מהצורה $n>...$. דמיינו לכם למשל שהיינו מבצעים את החד-גדיא הבא $$\left|a_{n}-L\right|=\frac{n}{\sqrt{n^{4}+50n}+\sqrt{n^{4}+49n}}<n=c_{n}$$ אם נרצה לפתור עכשיו את אי-השיווין למציאת $N$ נקבל כי $$\begin{gathered}c_{n}<\varepsilon\\ n<\varepsilon \end{gathered}$$ כלומר קיבלנו כי אי-השיווין מתקיים רק עד מקום מסויים ולא החל ממקום מסויים. חשוב לציין גם שקיימת שיטה דומה עבור גבולות של פונקציות שמתבססת על אותו עיקרון אדישות של הגדרת הגבול של פונקציות.

עד כאן עם הוכחות לפי הגדרה. אם אתם מרגישים שהבנתם את מה שעשינו כאן, אני ממליץ לכם בחום לפתוח את הספר של קופרמן, ולנסות כמה שאלות בעצמכם מעמודים 21-23, וגם עמודים 43-45 אם כבר למדתם גבולות של פונקציות. אם אתם מרגישים שלא הבנתם עד הסוף, אמליץ לכם לקרוא שוב את כל מה שלמדנו עכשיו מאוחר יותר או מחר :).

המשיכו לחלק הבא

---

1. באופן כללי גם זו טענה שלא חייבים לפרט עליה ופשוט אפשר לציין. בהרצאה הראשונה כנראה קראו לתכונה הזו “עקרון ארכימדס” והשתמשו בה כדי להוכיח את צפיפות הרציונליים. ↩

2. בהרבה מקרים קל יותר לקרוא מהסוף. הסיבה לכך היא שהגדרות מתמטיות הן כמו שפת תכנות: חייבים להצהיר על המשתנים לפני שמשתמשים בהם. אם באי-השיווין בסוף ההגדרה מופיעים $n$ ו-$\varepsilon$, בתחילת ההגדרה יספרו לנו מי הם, ורק בסוף יספרו לנו מה עושים איתם. ↩

3. בדומה לשיר האהוב “חד-גדיא” שם יש מערכת אי-שיוונים מטורפת בין חיות הטבע, בני האדם, ומה שמעליהם. ↩