אני אהיה גלוי אתכם, אני ממש לא מת על לוגיקה. אפילו לא קצת חובב. מיד אמשיך להשמיץ את התחום, אבלקודם אציג בקצרה את התחום:

המתמטיקה קיימת מאות אם לא אלפי שנים, אך זה היה רק לפני 200 שנה שמתמטיקאים החלו לשאול שאלות כמו: “מה יושב בבסיס המתמטיקה?”, ו”מה הופך הוכחה לנכונה או לא נכונה?”. למעשה לוגיקה, יחד עם ענף נוסף הנקרא תורת הקבוצות, הינם הבסיס לכל המתמטיקה. כמו שאתם יכולים לנחש זהו תחום מאוד מאוד מופשט, שזו כבר סיבה אחת שאני פחות מחבב אותו.

אך בכל זאת אני לא שונא אותו. חברי הטוב מספסל הלימודים, עמית, אוהב מאוד לוגיקה מתמטית ותמיד כשנפגשנו לצהריים בקפיטריה של מדמ”ח הוא היה מספר לי על משפטים חדשים ותובנות שהוא למד עליהם בנושא. אבל איכשהו, באופן פלאי, כל שיחה שלנו בנושא נגמרת בכך שעמית מצליח לשכנע אותי שכל המתמטיקה שלנו מבוססת על יסודות מאוד רעועים, ושמה שאנחנו עושים עלול להתפוצץ לנו בפנים בכל רגע. אחרי מחשבות כאלו מאוד מתחשק לי פשוט לומר לו: “נו בחייאת המספרים מסתדרים, מה אכפת לך?”, אבל אז אני מרגיש כאילו אני זורק אחריות. בקיצור, זה הוא תחום מאוד חשוב, פשוט לא הקטע שלי.

“נו? אז למה אנחנו מבזבזים את הזמן שלנו? איפה כל החדו”א-כיף?”

אז העניין הוא שהתחום הזה הכרחי מאוד לפיתוח היכולת לכתוב הוכחות. כל כך הכרחי, שבאונברסיטאות אחרות בארץ ובעולם סטודנטים אכן לומדים קורס בלוגיקה ובאותו הסמסטר שהם לומדים אינפי. אני למזלי הכרתי מעט התחום בעזרת ספר שקראתי למחצה. אבל אוכל לחסוך לכם את קריאת הספר ולערוך היכרות קלילה בינכם – הקוראים – לבין הלוגיקה, במקום.

הערה קטנה למי שמתמצא בתחום

אין בכוונתי ממש ללמד לוגיקה, כי אין באמת צורך בכל המושגים והז’רגון המפואר. רק צריך את הרעיונות הבסיסיים. לפיכך נמענתי מלהשתמש במושגים המוכרים והסימנים המוכרים לטובת שימוש ברעיונות ומילים מחיי היום-יום. עמכם הסליחה, ומי שלא טוב לו – יום טוב לו.

כלים בסיסיים ומה אפשר לעשות איתם

העולם שלנו מתחיל עם טענות. פשוט ככה. אוסף משפטים שאומרים משהו. אנחנו מחלקים את כל המשפטים והטענות עם חלוקה די אינטואיטיבית. יש טענות נכנות, ויש טענות לא נכונות. חשוב לי להסביר כאן שאנחנו עושים מתמטיקה, לכן אין מקום להתחכמות. כמה שנשמור על המבנה יותר פשוט, יותר סיכוי שנצליח ליישם איתו משהו. לכן אין דבר כזה טענה חצי נכונה, או “החלק הראשון של המשפט נכון, אבל השני לא”. או שטענה נכונה לגמרי, או שהיא לא נכונה.

“יאללה סיקרנת אותי, מהן הטענות האלו? ואיך אני מקבל 100 בעזרתן?”

אני רוצה להתחיל בנושא קטן ונחמד, שנקרא סילוגיזם (syllogism). הוא יתן לך טעם על מה אנחנו הולכים לדבר בחצי שעה הקרובה, ולמעשה יש לו גם שימוש ממשי בכתיבת הוכחות.

סילוגיזם לאדם המודרני

המילה סילוגיזם מקורה במילה היוונית סילוגיסמוס שמשמעותה – מסקנה או הסקה. הסילוגיזם הפשוט, כפי שהוגדר לפני זמן רב על ידי אריסטו, מורכב משלושה חלקים:

1. טענה ראשית
2. טענה משנית
3. מסקנה שנובעת משתי הטענות

שבענו מדיבורים באוויר, הגיע הזמן לדוגמה. הנה סילוגיזם קלאסי:

1. כל בני האדם הם בני תמותה (טענה ראשית)
2. יוסי הוא בן אדם (טענה משנית)
3. יוסי הוא בן תמותה (מסקנה)

אני בספק אם מישהו כאן חולק על העובדה שזמנו של יוסי יבוא במוקדם או במאוחר¹.

בואו ננסה עוד דוגמה, נראה אם זה זורם:

1. לכל בעל רכב יש ביטוח חובה לרכב (טענה ראשית)
2. יהי רומן, גבר בן 30, בעל רכב (טענה משנית)
3. לרומן יש ביטוח חובה לרכב (מסקנה)

אני חושב שתסכימו גם עם הסילוגיזם הזה, אך יתכן ואתם תוהים לגבי הניסוח המעט מוזר שבחרתי לטענה המשנית. המילה הזו “יהי” לא מוצאת את דרכה ללשון הדיבורית לעיתים קרובות. אך במתמטיקה, ובפרט בקורסי החדו”א – היא החברה הכי טובה שלכם. את הטענה המשנית ניתן לפרש בלשון יום-יומית כ: “רומן הוא גבר בן 30 שיש לו רכב”. אבל ברומא תהיו רומאים – ובהוכחות שלכם תשתמשו ב”יהי”.

עכשיו מגיע החלק שהבטחתי לכם שקשור ממש לחדו”א. נתחיל ברגוע, ונעלה את הקצב לאט לאט. אני נותן לכם עכשיו טענה ראשית וטענה משנית:

1. לכל $\varepsilon$ חיובי, קיים $N$ חתיך. (טענה ראשית)
2. יהי חיליק, $\varepsilon$ חיובי. (טענה משנית)

תרגיל

מה היא המסקנה? קחו רגע לחשוב על זה. אולי אפילו תכתבו את הפתרון על הדף

פתרון

המסקנה היא שעבור חיליק, ה-$\varepsilon$ החיובי, קיים $N$ חתיך.

נעלה קצת את הרמה? בואו נניח שיש לי סדרת מספרים ידועה בשם $a_{n}$. אתם אפילו לא צריכים לדעת מה היא, או באופן כללי מה היא סדרה. קבלו סילוגיזם בתוספת עוד תרגיל:

1. לכל מספר חיובי שנסמנו $\varepsilon$, קיים מספר טבעי (שלם וחיובי) שנסמנו $N$, כך שלכל האיברים בסדרה שלי $a_{n}$ במיקום סידורי גדול מ-$N$, מתקיים שהמרחק בין האיברים האלו למספר 8 קטן מ-$\varepsilon$ (טענה ראשית)
2. יהי 3 מספר חיובי (טענה משנית)

תרגיל

מה היא המסקנה?

פתרון

המסקנה היא:

שקיים מספר טבעי (שלם וחיובי) שמסומן $N$, כך שלכל האיברים בסדרה שלי $a_{n}$ במיקום סידורי גדול מ-$N$, מתקיים שהמרחק בין האיברים האלו למספר 8 קטן מ-3.

השוו את הפתרון שלי עכשיו עם שלכם. אם יצא לכם אחד לאחד – מצוין. אנחנו (אני, אתם וההוכחות) נסתדר מעולה ביחד. אם יצא לכם אחרת, אנחנו צריכים לעשות חושבים טוב טוב עכשיו ולהבין למה.

מאחר שאני לא יכול לבדוק את התשובה שלכם, אם אתם חושבים שהיא ממש ממש זהה לשלי עד כדי מילת קישור שונה, אומר לכם כך: אנחנו כנראה נסתדר, להבא אמליץ לכם לנסות להיות פחות מגניבים, ופשוט להשתמש בנוסח הנתון. (זוכרים מה אמרתי לגבי תשובות יצירתיות בפרק הלמידה?)

אם יצאה לכם מסקנה ממש שונה משלי, אנחנו בבעיה. כנראה שהסקתם מידע שהוא לא בהכרח נכון. תראו, בסילוגיזם הראשון למשל, יכלנו להסיק כי ליוסי יש עיניים, ופה וגם אף. וזה עלול להישמע “הגיוני”, אבל מבחינת המידע שנתון לנו בסילוגיזם – זו המצאה גמורה. בסילוגיזם השני עם ביטוח הרכב הדבר אולי יהיה יותר ברור. לא יתכן שתסיקו למשל שלרומן יש גם ביטוח דירה, נכון? לכן חשוב מאוד להסיק אך ורק מה שנכון לפי הנתונים, ולא נכון לפי “הלב” או “תחושת הבטן”.

נקודה חשובה נוספת שחשוב לשים לב אליה בסילוגיזם היא אל מי מכוונת המסקנה. המסקנה תמיד מכוונת כלפי מי שהוצג בטענה המשנית. קחו תרגילון, ותעברו על כל הסילוגיזמים שכתבנו עד עכשיו, ושימו לב כלפי מי הייתה מכוונת המסקנה. גם בסילוגיזם האחרון שעשינו, המסקנה מכוונת כלפי ה-$\varepsilon$ שהוצג לנו בטענה המשנית, ולא כלפי ה-$N$. ה-$N$ הוא חלק מהמסקנה שנובעת עבור אותו $\varepsilon$ יקר.

סילוגיזם במבחן המציאות. מקור: xkcd

הסילוגיזם הולך להיות כלי שימושי בצורה יוצאת דופן כשנדון בכתיבת הוכחות בפרק על כתיבת הוכחות. אני כבר אספר לכם עכשיו, שהטענות הראשיות בסילוגיזמים שנשתמש בהם בהמשך ברוב המקרים יהיו משפטים והגדרות. הרבה מההגדרות שאנחנו מכירים מוצגות בצורה של “לכל $x$ קיים $y$” כמו הטענות הראשיות שראינו עד כה. אבל רוב המשפטים אינם מנוסחים בצורה הזה. יחד עם זאת, הם אכן יכולים להיות מנוסחים כך. למשל, המשפט האהוב “כל סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלמעלה היא מתכנסת” יכול להיות מנוסח באופן הבא:”לכל סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלמעלה קיים גבול”.

כדי להבין יותר טוב את הגמישות בניסוח של הגדרות ומשפטים, אני מזמין אתכם למפגש מרגש עם הכלים שבונים את הטענות.

איך להגדיל טענות בשקל תשעים

בואו נחזור לאותו עולם מלא בטענות שסיפרתי לכם עליו, ואיך אפשר בעזרתו לתאר את המתמטיקה.

אנחנו נתמקד ב-4 טענות להדגמת הנושא:

1. היום יום חם
2. אני הולך לים
3. לכל סיר יש מכסה
4. כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש

בתור התחלה, בחרתי את הטענות הכי פשוטות שיכולתי לחשוב עליהן. כל אחת מהן עוסקת רק בנושא אחד, אין מילות קישור. כלום.

יאללה עבדתי מספיק, תורך:

תרגיל

חשבו על 3 טענות משלכם ורשמו אותן על דף. כן כן עד כדי כך תשקיעו. גם לחשוב וגם לרשום. הקפידו לשמור על הטענות פשוטות ככל האפשר, עוד 3 דקות זה כבר יסתבך לבד.

כמו שאמרתי מקודם, כל טענה יכולה להיות או נכונה, או לא נכונה. אז בואו נרשום ליד כל טענה שציינתי האם היא נכונה או לא.

1. היום יום חם – נכון (נכתב ב12.8 תאמינו לי שהיה חם)
2. אני הולך לים – נכון (נו יום חם, לא נלך לים?)
3. לכל סיר יש מכסה – נכון (כמובן אם זה פתגם אז זה נכון)
4. כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש – לא נכון (נחשב לנכון עד שניקולאוס קופרניקוס הביא את הטוויסט)

תרגיל

הוסיפו ליד הטענות שלכם האם הן נכונות או לא נכונות. מומלץ שתהיה לכם לפחות טענה אחת לא נכונה (לצורך הלמידה, באופן כללי טענות נכונות זה תענוג).

עכשיו אנחנו עושים מתמטיקה נכון? אז הכל יהיה פשוט יותר אם ניתן לכל טענה שם בעזרת אות לטינית. לכן מעכשיו לא אגיד “תסתכלו על הטענה הראשונה שלי” אלא אומר “תסתכלו על $x$”. הטענות שלנו עכשיו הן:

1. $x$ – היום יום חם
2. $y$ – אני הולך לים
3. $z$ – לכל סיר יש מכסה
4. $w$ – כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש

לשלוש הטענות שלך נקרא $a$,$b$ ו-$c$. שימו לב שהסימונים באותיות הלטיניות מעט שונים מהסימונים המוכרים לנו מאלגברה. לביטוי $2x$ למשל אין שום משמעות. זה לא אומר במקרה היום ממש ממש חם. פשוט אין משמעות.

אנחנו מעוניינים לעשות מתמטיקה עם הטענות האלו, ואפילו לכתוב בעזרתן הוכחות! איך אפשר לעבוד עם טענות כאלו פשוטות שלא מסוגלות לתאר רבע מהמקרים האפשריים? ובכן, הלוגיקה מספקת לנו 5 כלים בעזרתם אנחנו יכולים להרכיב מכל אוסף של טענות פשוטות, אוסף טענות מורכבות. בואו נתחיל:

שלילה (Negation)

דבר והיפוכו. העניין כל כך פשוט שבואו ישר ניישם את זה. זוכרים את ארבעת המשפטים שלנו? אז זאת גרסת השלילה שלהם:

1. לא($x$) = היום יום לא חם (גם היום לא יום חם תופס)
2. לא($y$) = אני לא הולך לים
3. לא($z$) = יש סיר בלי מכסה
4. לא($w$) = כדור הארץ הוא לא במרכז מערכת השמש

שימו לב לכמה דברים חשובים. ראשית השתמשתי בסימני הטענות הלטיניים שלנו $x,y,z$ ו-$w$. שנית “הפעלתי” עליהם את כלי השלילה שלנו – לא(). ומצד שמאל לסימן השווה מופיעה התוצאה שהיא – הטענה החדשה. עוד נקודה שחשוב לי להעלות היא השלילה של טענה $z$. יכול להיות שלכם הייתה גרסה שונה משלי. מיד נרחיב יותר על סוג הטענות “לכל…קיים…” .

תרגיל

השתמשו בכלי השלילה לא() על הטענות שלכם $a,b$ ו-$c$ ורשמו מה התוצאה.

ובכן, אמרנו שאולי הדבר שהכי מעניין אותנו בכל הטענות האלו זה האם הן נכונות או לא. אז שימו לב לתוצאה מעניינת עד כדי לא מפתיעה בכלל. ברגע שהפעלנו את לא() על טענה נכונה, היא כבר אינה נכונה, וכשהפעלנו אותו על טענה לא נכונה – היא נהיתה נכונה. מפתיע? צפוי? אבל זאת האמת. על אף שזה מאוד פשוט, אני אכתוב את זה בצורה מאוד רשמית, רק למען הסדר מול הכלים הבאים:

כלל הנכונות לטענות לא

אם הרכבנו טענה חדשה על ידי הפעלת לא על טענה נכונה – נקבל טענה לא נכונה. אם הפעלנו את לא על טענה לא נכונה – נקבל טענה נכונה.

מה קרה בטענה 3 לעזאזל? על כמתים וכיצד לתפוס אותם

טענה 3 בנויה בעזרת שני הכמתים עליהם למדתם בתחילת הסמסטר. הכמת הראשון הוא לכל (שמסומן לעיתים $\forall$), והכמת השני הוא קיים (שמסומן לעיתים $\exists$). שני הכמתים עוזרים לנו לעשות לסדר ולהבין איזה קשר מתקיים בעולם שבו יש סירים ומכסים: האם לכל סיר יש מכסה? האם לכל מכסה יש סיר? האם יש סיר בלי מכסה? או מכסה שלא מתאים לסיר? אולי כמה סירים מתאימים למכסה אחד? או אולי כמה מכסים מתאימים לסיר ספציפי. אלו שאלות שבטח מטרידות גם אתכם.

טענה 3 – הידועה גם בשמה הציבורי טענה $z$ – עושה סדר בנושא ומספרת לנו שלכל סיר שתקחו במטבח, יש מכסה מתאים. איך עושים את ההתאמה? לא ידוע. האם לכל סיר מתאים רק מכסה אחד? לא ידוע. האם המכסה המתאים הוא בלעדי? כלומר נעשה בו שימוש רק לסיר הזה? גם לא ידוע! כל מה שאנחנו יודעים זה שלכל סיר יהיה מכסה.

עכשיו לענייננו: מה בדיוק הטענה הנגדית לטענה הזו? ובכן, בואו ננסח את השאלה קצת אחרת: אם לדעתכם אני משקר, ולא לכל סיר יש מכסה, אילו ראיות הייתם מביאים נגדי בבית המשפט? אם תחשבו על זה יותר מ-10 שניות תגלו שיש כמה דרכים. אולי תביאו סיר ספציפי בלי מכסה, אולי תביאו 30 סירים שאין להם מכסה (קצת דרמטיות לא מזיקה), אולי בכלל תראו שלכל הסירים אין מכסה. בקיצור, יש לא מעט דרכים להראות שאני משקר, ומאחר שאנו עוסקים במתמטיקה אנחנו חייבים עכשיו יחד להחליט אחת ולתמיד מהי התשובה הנכונה. ובכן, ההחלטה כבר בוצעה הרבה לפני שאני ואתם עסקנו בפרשה, והנה התוצאות: עליכם להראות שאני משקר בדרך המינימליסטית ביותר – כלומר לעשות כמה שפחות ולהוכיח כמה שיותר. לכן מספיק שתראו לי סיר אחד שאין לו מכסה, וכל הטענה שלי – טענה $z$ – שווה לזבל. על כן התשובה לשאלה “מהי טענת הלא() של טענה $z$?” היא מה שצוין לעיל. יאללה לכלי הבא.

איור: תום כספי

וגם (And)

עכשיו זה נהיה מעניין. בעברית (ובעצם בכל השפות שאני מכיר) אנחנו יכולים להרכיב משפטים מורכבים שיש בינהם קשר לוגי כלשהו על ידי שימוש במילות קישור. מילת הקישור היא שקובעת את הקשר. במתמטיקה אנחנו חייבים לעשות את החיים יותר פשוטים, לכן את כל אוצר המילים הרחב שלנו שמתאר מילות קישור שמצרפות שני משפטים (כמו וגם, בנוסף, כמו כן, יתר על כן, יתרה מזאת, יתרה מכך ועוד ועוד…) אנחנו שמים בצד לטובת המילה הנאה וגם. אז בואו ניצור כמה משפטים חדשים:

• $x$ וגם $y$ = היום יום חם וגם אני הולך לים.
• $z$ וגם $w$ = לכל סיר יש מכסה וגם כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש.

המשפט הראשון אכן מרשים, המשפט השני קצת מוזר… אבל להזכירכם, כל מה שמעניין אותנו זה נכונות המשפט. אז בואו נבדוק. מאחר שגם היום יום חם וגם אני הולך לים, הטענה $x$ וגם $y$ היא נכונה. לעומת זאת, למרות שלכל סיר יש מכסה, מאחר שלטעון שכדור הארץ במרכז מערכת השמש זה שקר גמור, אי אפשר לטעון ש-$z$ וגם $w$ זו טענה נכונה, כלומר היא לא נכונה.

אז מה הכלל?

כלל הנכונות לטענות וגם

אם הרכבנו טענה חדשה בעזרת שתי טענות והכלי וגם, הטענה החדשה תהיה נכונה אם, ורק אם שתי הטענות המרכיבות אותה נכונות. כל צירוף אחר הוא שקרי.

תרגיל

הרכיבו טענות חדשות בעזרת הכלי וגם והטענות שלכם. ליד כל טענה חדשה, רשמו האם היא נכונה או לא. העזרו בכלל שנוסח לעיל.

ו/או (Or)

אוווו עכשיו זה באמת נהיה מעניין. הרעיון של הכלי ו/או דומה לכלי וגם, אך בעל משמעות שונה. בואו ניצור משפטים חדשים!

• $x$ ו/או $y$ = היום יום חם ו/או אני הולך לים.
• $z$ ו/או $w$ = לכל סיר יש מכסה ו/או כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש.

עכשיו בואו נשים לב מה עלה בגורל נכונות הטענות הפעם. שוב, מאחר שהיום יום חם היא טענה נכונה וגם אני הולך לים היא טענה נכונה, אין בעיה לטעון שגם יום חם ו/או אני הולך לים. על כן הטענה $x$ ו/או $y$ היא נכונה. ומה לגבי הטענה $z$ ו/או $w$? אווו, מאחר שבכלי ו/או אין התחייבות ששתי הטענות המרכיבות את המשפט יהיו נכונות, מספיק שלכל סיר יש מכסה והטענה הכללית נכונה. על כן הטענה $z$ ו/או $w$ גם היא נכונה.

אז מה הכלל כאן?

כלל הנכונות לטענות ו/או

אם הרכבנו טענה חדשה בעזרת הכלי ו/או, הטענה החדשה תהיה נכונה אם, ורק אם לפחות אחת הטענות המרכיבות אותה נכונה. אם שתי הטענות שמרכיבות אותה אינן נכונות, גם הטענה החדשה אינה נכונה.

תרגיל

ניחשתם נכון. הרכיבו טענות חדשות בעזרת הכלי ו/או והטענות שלכם. ליד כל טענה חדשה, רשמו האם היא נכונה או לא. שוב, הכלל שנוסח עתה עלול לסייע.

הערה לבקיאים בנושא/למתעניינים בלוגיקה

בענף האמיתי, מבדילים בין שני כלים שונים. אחד נקרא Or והטענה החדשה שמרכיבים איתו תהיה נכונה כמו הכלי שהגדרנו כאן ו/או. שמו המלא הוא Inclusive Or. בהתאם ישנו גם הכלי Exclusive Or שמשמעותו היא: או א’, או ב’ – לא שניהם ביחד. יש המקצרים ומסמנים אותו Xor (ויקרא שמו בישראל קסור).

שני הכלים הבאים יהיו שני הכלים החשובים ביותר שנציג. אם אתם צריכים רגע לנוח/כוס קפה/מישהו שיחזיק לכם את היד – זה הזמן.

אם…אז (If…then)

הכלי אם…אז מייצג קשר של סיבה ותוצאה. הטענה שבאה אחרי אם היא הסיבה, וזאת שאחרי אז – התוצאה. למשל:

• אם $x$ אז $y$ = היום יום חם לכן אני הולך לים.
• אם $z$ אז $w$ = לכל סיר יש מכסה ועל כן כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש.
• אם $w$ אז $z$ = כדור הארץ הוא במרכז מערכת השמש ולפיכך לכל סיר יש מכסה.

די פשוט. העניין הפחות פשוט הוא קביעה האם הטענה החדשה שיצרנו היא נכונה. נתחיל ב-אם $x$ אז $y$:

מאחר ש-$x$ נכון וגם $y$ נכון, לא מן הנמנע שבאמת $x$ גורר את $y$. האם זה מחייב ש-(אם $x$ אז $y$) נכון? אז זו אכן שאלה מעניינת. אולי דווקא ההפך הוא הנכון? אולי דווקא מפני שאני הולך לים אז היום יום חם? זה גם הגיוני. וכמו שציינתי מקודם, אנחנו עוסקים במתמטיקה לכן אנחנו צריכים תשובה חד משמעית. או שהטענה הזו נכונה, או שהיא לא. והקביעה בנושא היא: שהיא כן נכונה. כלומר אולי השאלה המדוייקת היא לא “האם הטענה נכונה?” אלא “האם הטענה יכולה להיות נכונה?”. למה השאלה השנייה יותר עוזרת לנו? בואו נסתכל על אם $z$ אז $w$:

אז אנחנו בוודאות יודעים ש-$z$ נכון (לכל סיר יש מכסה כבר סיכמנו), ואנחנו בוודאות יודעים ש-$w$ לא נכון (כמו שאמר קופרניקוס). אז אני מקווה מאוד שאתם מסיכימים, ומהנהנים יחד איתי, שהטענה אם $z$ אז $w$ היא שקר מוחלט. הרי לא יתכן שמשהו אמיתי ונכון יגרור שקר. לא ככה עובדים החיים.

אז אנחנו כבר יכולים להסיק כלל:

חלק מכלל הנכונות לטענות אם...אז

אם הרכבנו טענה חדשה בעזרת אם…אז, והטענה שבאה אחרי אם היא נכונה, אז הטענה החדשה נכונה אם, ורק אם הטענה שבאה אחרי אז נכונה.

“אבל רגע מר אדון אמיר!! ומה אם הטענה שבאה אחרי אם היא שקר?? אתה לא תתחמק לנו!”

שאלה מעולה. בסוף החלק הזה השארתי פסקה שמספרת מה קורה במצב הזה, ובחלק הבא נבין איך שימוש בטענות מהסוג הזה קוטלות סטודנטים במבחנים כמו זבובים.

כלומר (אם ורק אם)

השימוש העיקרי לכלי הבא הוא הגדרות. כמו משמעות המילה כלומר: כמו לומר. כלומר הוא כלי המקשר בין שתי טענות שהן אותו הדבר. בשפה היום יומית אנחנו משתמשים בדרך כלל במילים כאלו כדי להגדיר מושגים. למשל:

• לבנה כלומר ירח
• שמש כלומר כדור האש בשמיים שמחמם אותנו.

אנחנו יכולים להשתמש בכלי כלומר גם בשביל הטענות שלנו:

• $x$ כלומר $y$ = היום יום חם כלומר אני הולך לים.
• $x$ כלומר $w$ = היום יום חם זה כמו לומר שכדור הארץ במרכז מערכת השמש.

שוב, על מנת לקבוע האם הטענה החדשה נכונה אנחנו שואלים את עצמנו את השאלה: “האם בהינתן שאנחנו יודעים את נכונות הטענות המרכיבות, הטענה החדשה יכולה להיות נכונה?”. במקרה של $x$ כלומר $y$, מאחר שגם $x$ וגם $y$ הן טענות נכונה, יתכן מאוד שיום חם זה ממש שקול לעובדה שאני הולך לים. בכל יום חם אני הולך לים, ואם הלכתי לים אז היום יום חם.

במקרה של $x$ כלומר $w$ לא יתכן שהטענה החדשה נכונה. מדוע? כי אני יודע שאני הולך לים (זו טענה נכונה) ואני יודע שכדור הארץ הוא לא במרכז מערכת השמש, ולא יתכן שטענה נכונה תהיה שקולה לטענה לא נכונה.

ישנו מקרה קטן (ופחות קריטי) שלא הדגמתי כאן לעיל והוא: שתי הטענות המרכיבות הן לא נכונות. האם יכול להיות ששקר אחד שקול לשקר אחר? זו שאלה טובה, אבל עלינו להחליט. והתשובה היא כן. שוב, המצב המתואר לא קריטי לכתיבת הוכחות, אז בבקשה מי שלא מרוצה, נא להמשיך בחיים.

כלל הנכונות לטענות כלומר

אם הרכבנו טענה חדשה בעזרת כלומר ושתי טענות בסיסיות, הטענה החדשה נכונה אם, ורק אם שתי הטענות הבסיסיות המרכיבות אותה הן נכונות שתיהן, או לא נכונות שתיהן.

איחולים לבביים, אתם מכירים את כל הכלים שאתם צריכים.

חשוב גם לציין, שיש דרך נוספת להראות שטענת כלומר היא נכונה. דרך זו קשורה למשמעות של הכלי, שמייצג שקילות של שני ביטויים. אם כן הדרך השנייה לקבוע שטענת כלומר היא נכונה היא על ידי בדיקת הטענות המרכיבות אותה.

כלל הנכונות השני לטענות כלומר

אם הרכבנו טענה חדשה בעזרת כלומר, למשל הטענה $x$ כלומר $y$. הטענה החדשה נכונה אם, ורק אם שתי הטענות הבאות נכונות:

• אם $x$ אז $y$
• אם $y$ אז $x$

היי! זה בעצם אומר ש-$x$ גורר את $y$, וגם $y$ גורר בתורו את $x$. שזה הגיוני מאוד.

העניינים מסתבכים

מבחינת קשרים והקשרים, די מיצינו את כל הכלים שעומדים לרשותנו, אבל לא חייבים לעצור כאן. אפשר לשלב אותם על מנת לקבל טענות עוד יותר מורכבות כמו:

אם לא($x$) אז ($y$ וגם $w$) = אם היום יום לא חם אז גם אני אלך לים וגם לכל סיר יש מכסה.

שימו לב שהסוגריים כאן מייצגים קדימות, כמו בתרגילי חשבון רגילים. חשבתי להסביר איך מחשבים האם הטענות החדשות האלו נכונות, אבל חבל על הזמן. יש שיטה די פשוטה לבדוק את זה, אבל זה צרות של מישהו אחר. אגב, שימו לב שהעניינים כאן עלולים להסתבך עוד יותר בכך ש הטענות $x,y,z$ יהיו בעצמן טענות כאלו מורכבות!

היי, אז מה הקטע עם הנכונות האם…אז

לסיכום החלק הזה, אני מזכיר שאנחנו דנים בשאלה האם הטענה החדשה שהרכבתי עם אם…אז יכולה להיות נכונה במקרה שהטענה שבאה אחרי האם היא לא נכונה. אספר לכם את התשובה כפי ש-Raymond Smullyan מספר בספרו ‘A Beginner’s Guide to Mathematical Logic’:

נניח שבחור מבטיח לבחורה: “אם אני מוצא עבודה השנה, אני מתחתן איתך בקיץ”. הו, כמה רומנטי. עכשיו אם הוא מוצא עבודה ומתחתן איתה בקיץ הוא ללא ספק עמד במילה שלו (כלומר הטענה נכונה). אם הוא מוצא עבודה ולא מתחתן איתה בקיץ הוא שקרן נתעב (כלומר הטענה לא נכונה).

אבל מה קורה אם הוא לא מוצא עבודה, וכן מתחתן איתה? האם מישהו יכול לומר שהוא לא עמד במילה שלו? לא בדיוק. הרי כל הטענה מעניינת רק אם הוא באמת מצא עבודה. אז אנחנו שוב בתחום האפור הזה שצריך להחליט האם הטענה נכונה או לא, וההחלטה היא: נכונה. הוא לא שבר את מילתו ולכן הטענה נשארת נכונה! עכשיו המקרה הבאמת מעניין אם הוא לא מצא עבודה וגם לא התחתן איתה. האם הוא עמד במילה שלו? שבר אותה? נניח שהבחורה יוצאת עם הבעיות שלה לציבור בהצהרה:

“ אתה אמרת שאם תמצא עבודה תתחתן איתי בקיץ, ולא מצאת עבודה וגם לא התחתנת איתי בקיץ!”

אז הבחור יכול לענות לה בפאסון:

“מעולם לא שברתי את המילה שלי. לא אמרתי שאני אתחתן איתך בקיץ. כל מה שאמרתי זה שאם אני אמצא עבודה אז אני אתחתן איתך בקיץ. לא מצאתי עבודה, אז לא שיקרתי!”

נו, באיזה צד אתם? הבחורה או הבחור? שוב, מאחר שזו מתמטיקה וכל טענה חייבת להיות נכונה או לא נכונה, עלינו לבחור צד. מאחר שקשה לומר שהוא שבר את המילה שלו, אנו בוחרים בצד שהוא עמד במילה שלו. לכן הטענה נכונה.

מכאן אנחנו יכולים להרחיב את הכלל שציינו מקודם: אם הרכבנו טענה חדשה בעזרת אם…אז, והטענה שבאה אחרי אם היא שקר, אז הטענה החדשה נכונה. לא משנה מה בא אחרי האז.

המשיכו לחלק הבא

---

1. התנצלות רשמית לכל היוסים באשר הם אשר קוראים טקסט זה. אתם רשאים לבחור כל שם אחר כאוות נפשכם. ↩